排除最大元素后总和最大的子数组

问题描述

给定一个整数数组，删除其中最大的元素，要求找出剩余元素中总和最大的子数组。

例如，给定数组 $[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]$，删除最大元素 $4$ 后，总和最大的子数组为 $[-2, 1, -3, -1, 2, 1]$，总和为 $-2 + 1 - 3 - 1 + 2 + 1 = -2$。

解法

首先，我们需要确定如何删除最大元素。很容易想到，可以先找到最大元素，然后从数组中删除它。

对于总和最大的子数组，我们可以使用动态规划的思想。

设 $dp_i$ 为以第 $i$ 个元素为结尾的最大子数组的和，则有以下状态转移方程：

$$dp_i = \max{dp_{i-1}+nums_i, nums_i}$$

其中 $nums_i$ 为第 $i$ 个元素。

根据状态转移方程，可以得到以下代码实现：

def max_subarray_sum(nums):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
    return max(dp)

def find_max_subarray(nums):
    max_val = max(nums)
    max_index = nums.index(max_val)
    return max_subarray_sum(nums[:max_index] + nums[max_index+1:])

上述代码中，max_subarray_sum() 函数用于求取不包含最大元素的最大子数组的和，find_max_subarray() 函数则用于找到剩余元素中的最大子数组。

测试样例

输入：

[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

输出：

-2

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组的长度，需要遍历一遍数组求解最大子数组的和。
• 空间复杂度：$O(n)$，需要维护一个长度为 $n$ 的数组。