拆分数组以最大化具有相等数量的奇数和偶数元素的子数组，成本不超过 K

问题描述

给定一个整数数组 nums 和一个整数 K，将数组分割成尽可能多的长度相等的子数组，使得每个子数组中奇数和偶数元素的数量相等，并且拆分的成本不超过 K。

如果数组无法分割成满足条件的子数组，则返回 0。

解决方案

方法一：动态规划

首先，我们需要了解一个概念——成本。在这个问题中，成本等于奇数元素个数与偶数元素个数不等的数量。例如，如果一个子数组中有 3 个奇数元素，但只有 2 个偶数元素，则成本为 1。

假设 dp[i] 表示将前 i 个元素分割成多少个长度为 k 的子数组以最大化每个子数组中奇数和偶数元素的数量相等，最小化成本（注意：此时的 k 要求满足 k 是 i 的因子）。

对于前 i 个元素，可以考虑和前 i-k 个元素组成一个长度为 k 的子数组。如果这样的子数组是满足条件的，那么可以将其与 dp[i-k] 的状态一起更新。具体来说，对于一个长度为 k 的子数组，如果其中奇数元素的个数是偶数个，同时在这个子数组之前的所有元素中，奇数元素的个数 minus 偶数元素的个数等于零，那么这个子数组是满足条件的。

如果存在符合条件的子数组，那么 dp[i] 的值可以通过枚举所有满足条件的子数组来更新。具体来说，对于所有的因子 k，如果前 i-k 个元素可以分成长度为 k 的若干段，并且这些子数组中恰好有一半是奇数和一半是偶数，那么可以将 dp[i-k] 的值加上成本，得到候选的 dp[i]，并取其中的最小值。

最终的答案就是 dp[n]，其中 n 是数组的长度。

算法

def maxSubarrays(nums: List[int], K: int) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    dp[0] = 0

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i // 2, 0, -1):
            if i % j == 0:
                cnt = [0, 0]
                for k in range(i - j, i):
                    cnt[nums[k] % 2] += 1
                if cnt[0] == cnt[1]:
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - j] + (cnt[0] != j))
    return dp[n] if dp[n] <= K else -1

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，其中 n 是数组的长度。对于每个 i，需要枚举其因子 j，然后统计前 i 个元素中每个长度为 j 的子数组中奇数元素的个数并判断是否符合条件。总共的状态数是 $O(n)$，因此总时间复杂度是 $O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(n)$，需要使用 O(n) 的空间存储 dp 数组。