计数在偶数和奇数位置具有相等的元素之和的子数组

问题描述

给定一个整数数组 nums，请找出该数组中满足以下条件的子数组个数:

• 子数组的长度是偶数
• 子数组中元素的和在偶数下标和奇数下标处的元素之和相等

思路解析

方法一：暴力枚举

首先尝试直接暴力枚举所有的子数组，时间复杂度为 $O(n^3)$，计算每个划分点的前缀和及奇偶性并比较，统计符合要求的子数组数量。

代码如下：

class Solution:
    def numOfSubarrays(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        ans = 0
        for i in range(n):
            for j in range(i+1, n):
                if (j - i + 1) % 2 == 0:
                    even_sum = sum(nums[i:j+1:2])
                    odd_sum = sum(nums[i+1:j+1:2])
                    if even_sum == odd_sum:
                        ans += 1
        return ans

方法二：前缀和

通过前缀和优化求和操作，时间复杂度降至 $O(n^2)$。

具体方法是维护两个前缀和数组， sum_odd[i] 表示前 i 个元素中所有下标为奇数的数的和，sum_even[i] 同理。

代码如下：

class Solution:
    def numOfSubarrays(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        ans = 0
        sum_odd = [0] * (n+1)
        sum_even = [0] * (n+1)
        for i in range(1, n+1):
            if i % 2 == 0:
                sum_even[i] = sum_even[i-1] + nums[i-1]
                sum_odd[i] = sum_odd[i-1]
            else:
                sum_odd[i] = sum_odd[i-1] + nums[i-1]
                sum_even[i] = sum_even[i-1]
        for i in range(n):
            for j in range(i+1, n):
                if (j - i + 1) % 2 == 0:
                    even_sum = sum_even[j+1] - sum_even[i]
                    odd_sum = sum_odd[j+1] - sum_odd[i]
                    if even_sum == odd_sum:
                        ans += 1
        return ans

方法三：哈希表

维护一个哈希表，记录已经遍历过的前缀和的差值及统计符合要求的子数组数量，时间复杂度 $O(n)$。

代码如下：

class Solution:
    def numOfSubarrays(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        ans = 0
        curr_sum = 0
        count = {0:1}
        for i in range(n):
            curr_sum += nums[i]
            diff = curr_sum - (i+1)*0.5
            if diff in count:
                ans += count[diff]
            if diff not in count:
                count[diff] = 0
            count[diff] += 1
        return ans

总结

本题可以通过暴力枚举、前缀和、哈希表三种算法解决。

其中，暴力枚举时间复杂度较高，适用于小规模数据；前缀和算法时间复杂度适中，适用于中等规模数据；哈希表算法时间复杂度较低，适用于大规模数据。

应根据数据规模和实际情况选择合适的算法。