直角三角形内刻有正方形的最大Reuleaux三角形

Reuleaux三角形是指内切于一个等边三角形的最大面积的曲线，它和圆一样是一种具有对称性的几何图形。在直角三角形内刻一个正方形，可以得到一个以对角线为直径的圆。由于Reuleaux三角形内切于直角三角形，因此我们可以想办法将该圆形切成一个Reuleaux三角形。

思路

我们假设正方形的边长为 $s$，直角三角形的两条直角边分别为 $a$ 和 $b$。由勾股定理，可以知道直角三角形的斜边长 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$。

我们需要找到一种方法，通过圆的上下半圆分别构造出两个Reuleaux三角形，并计算它们的面积之和。

首先，我们需要确定半径 $r$ 的大小。显然，当正方形的对角线恰好等于直角三角形的斜边时，取 $r = \dfrac{s\sqrt{2}}{2}$。此时，圆的直径等于斜边 $c$，刚好可以内切于直角三角形。

接着，我们需要将上下半圆分别切成两个扇形和一个等边三角形，并通过旋转后组合成两个Reuleaux三角形。

具体而言，我们可以将上下半圆分别分成三等份，其中每一份的圆心角为 $120^{\circ}$。然后，分别设置两个起始点，将圆分成两个扇形和一个等边三角形。最后，使用旋转操作即可将两个扇形和一个等边三角形组合成两个Reuleaux三角形。

计算两个Reuleaux三角形的面积之和，即是直角三角形内刻有正方形的最大Reuleaux三角形的面积。

代码实现

下面是一个Python函数，可以计算直角三角形内刻有正方形的最大Reuleaux三角形的面积。

import math

def max_reuleaux_triangle(a, b, s):
    c = math.sqrt(a**2 + b**2)
    r = s * math.sqrt(2) / 2
    theta = 2 * math.pi / 3
    
    x = r * math.cos(theta)
    y = r * math.sin(theta)
    p1 = (s/2 + x, s/2 + y)
    p2 = (s/2 - x, s/2 + y)
    
    theta += math.pi / 3
    x = r * math.cos(theta)
    y = r * math.sin(theta)
    p3 = (s/2 + x, s/2 - y)
    p4 = (s/2 - x, s/2 - y)
    
    a1 = math.pi / 3 - math.atan(b/a)
    a2 = math.pi / 3 - math.atan(a/b)
    
    area1 = a**2 * (4*math.sin(a1)*math.sin(math.pi/6-a1)-3*math.sqrt(3))/(12*math.pi)
    area2 = b**2 * (4*math.sin(a2)*math.sin(math.pi/6-a2)-3*math.sqrt(3))/(12*math.pi)
    
    return area1 + area2

该函数接受三个参数，分别为直角三角形的两条直角边 $a$ 和 $b$，以及正方形的边长 $s$。它返回直角三角形内刻有正方形的最大Reuleaux三角形的面积。

注意，由于涉及到三角函数的计算，存在一定精度误差。在实际使用时，需要进行测试和校准。