内刻在椭圆内的正方形内的最大Reuleaux三角形

介绍

Reuleaux三角形（Reuleaux Triangle）又称圆心三角形或曲线三角形，是指相互切于一定圆弧所形成的图形，是一种拥有宽广曲率的几何图形。在这里，我们研究的是内刻在椭圆内的正方形内的最大Reuleaux三角形。

问题

给定一个内刻在椭圆内的正方形，求该正方形内内切的最大Reuleaux三角形。

思路

为了求解该问题，我们需要解决以下两个问题：

1. 如何求解内刻在椭圆内的正方形；
2. 如何求解正方形内内切的最大Reuleaux三角形。

对于问题1，我们可以将正方形的顶点直接平移放入椭圆内，这样可以保证其完全内刻椭圆，并且显然可以通过一些数学运算（如逆时针旋转45度）将正方形对称为包括坐标轴的椭圆。

对于问题2，我们可以通过构造Reuleaux三角形的方式求解。首先，我们需要明确Reuleaux三角形是由三个半径相等的圆的切点所构成的，而且它们的切线也是互相切于圆心的。因此，我们需要在正方形内均匀地构造出三个圆，然后将它们的切点连接起来即可得到Reuleaux三角形。为了使其内切于正方形，我们只需要在正方形的中心构造一个以和正方形边长相等的半径的圆即可。

代码片段

import math

def reuleaux_triangle_in_square_with_ellipse(a, b):
    # 椭圆参数方程
    x = lambda t: a * math.cos(t)
    y = lambda t: b * math.sin(t)
  
    # 求解正方形内与椭圆相切的内刻圆半径
    r = min(a, b)
  
    # 构造Reuleaux三角形，依次连接三个圆的切点
    pts = []
    for i in range(3):
        # 圆心坐标
        cx = r * math.cos(i * 2 * math.pi / 3)
        cy = r * math.sin(i * 2 * math.pi / 3)
        # 构造圆上的点
        for j in range(50):
            theta = j * 2 * math.pi / 50
            xj = cx + r * math.cos(theta)
            yj = cy + r * math.sin(theta)
            if xj >= -a and xj <= a and yj >= -b and yj <= b:
                pts.append((xj, yj))
    return pts

以上是一个使用Python编写的解决该问题的函数。它接受两个参数a和b，表示内刻于椭圆的正方形的半边长，返回一个包含50 * 3个点的列表，表示构成的Reuleaux三角形。