在 DFA 中查找接受所有二进制数集的状态数的小技巧

DFA（确定性有限自动机）是一种广泛用于表示计算机算法和程序的数学工具。在一个简单的形式中，DFA 可以用图形表示并使用特定的状态和转换函数来描述计算过程。

在这篇文章中，我们将讨论如何查找接受所有二进制数集的状态数的小技巧，这些二进制数是 n 的模数。

什么是二进制数的模数?

在计算机科学中，二进制数（binary number）通常是一个只由 0 和 1 组成的数字，但模数（modulus）是处理二进制数时的一种操作，它可以将一个二进制数分为若干个小的组。

例如，二进制数 10101101，我们可以将它的模数为 3，那么它就被分为了 3 组：10 10 11 01。这样做可以让我们更方便地对二进制数进行处理。同时，如果我们考虑能接受所有二进制数集的状态数，就需要关注模数为 n 的二进制数分组。

如何使用 DFA 查找接受所有二进制数集的状态数？

我们可以使用 DFA 来构建一个能够接受所有模数为 n 的二进制数分组的自动机。模数为 n 的二进制数分组包含 n 个数字，也就是说，我们需要构建一个 DFA，让它在 n 个数字后结束。

为了说明这个过程，我们给出一个示例 DNF 构造和状态流程图。

DFA 构造

下面给出 DFA 的构造过程：

1. 状态 0 表示尚未确定 div 的值。对于每个输入 bit，我们将其乘以 2，并加上 bit 的值。如果结果超过了 n，我们将其除以 n，我们得到的商 div 就是下一个状态。

2. 如果在 n 个 bit 之后，div = 0，那么我们进入接受状态.

下面的表格显示了 DFA 的状态转换：

| 状态 | 0 | 1 | |-------|---|---| | 0 | 0 | 1 | | 1-n | 2n+0 | 2n+ 1 | | n+1 | - | - |

状态流程图

下面是一个状态流程图，展示了 DFA 的状态转换。

graph TD
A((0)) -->|0| B((0))
A -->|1| C((1))
B -->|0| D((0))
B -->|1| E((1))
C -->|0| F((2n + 0))
C -->|1| G((2n + 1))
D -->|0| D
D -->|1| E
E -->|0| H((2n + 0))
E -->|1| I((2n + 1))
F -->|0| F
F -->|1| G
G -->|0| H
G -->|1| I
H -->|0| H
H -->|1| J((接受状态))
I -->|0| H
I -->|1| J

在上面这个状态转换图中，状态 0 表示尚未确定 div 的值。状态 1-n 表示我们已经确定了 div 的值，但 div 不等于 0。状态 n+1 表示我们已经读取了 n 个输入 bit，但 div 仍未等于 0。

结论

通过构建这个 DFA，我们可以很容易地找到接受所有模数为 n 的二进制数分组的状态数。具体而言，状态数为 2n。

我们希望这篇文章能够帮助程序员更好地理解 DFA，并更加深入地了解在 DFA 中查找接受所有二进制数集的状态数的小技巧。