不使用浮点算法对有理数进行二进制搜索

当我们需要对有理数进行二分查找时，在使用浮点数进行计算时，会面临精度丢失的问题。因此，我们需要使用不使用浮点算法对有理数进行二分查找的方法。

原理

在进行二分查找时，我们需要确定左侧边界、右侧边界以及中间点的值。对于有理数来说，我们需要确定分子和分母的范围。

首先，我们将左侧边界和右侧边界的分子和分母都化为最简形式，然后求出它们的最小公倍数 $lcm$。接着，我们将左侧边界和右侧边界的每个分子乘以 $lcm$，再将它们的分母替换为 $lcm$。这样，我们就得到了一个区间 $[lb,rb]$，它不仅包含了给定的左侧边界和右侧边界，而且所有的分子和分母都是整数且不含约数。

在进行二分查找时，我们选取区间 $[lb,rb]$ 的中间点 $mid$，然后将它的分子和分母都再次化为最简形式。如果 $mid$ 恰好是给定的有理数，则查找成功，否则根据 $mid$ 和目标有理数的大小关系，调整左侧边界或右侧边界。接着，我们再按照上述步骤，求取新的区间和中间点，直到找到目标有理数或者确定目标有理数不存在。

代码

下面是 Python 语言的示例代码：

def binary_search_rational(left, right, target):
    def gcd(a, b):
        while b:
            a, b = b, a % b
        return a
    
    def lcm(a, b):
        return a * b // gcd(a, b)
    
    def simplify(n, d):
        g = gcd(n, d)
        return n // g, d // g
    
    lb_num, lb_den = left
    rb_num, rb_den = right
    lcm_den = lcm(lb_den, rb_den)
    lb_num *= lcm_den // lb_den
    rb_num *= lcm_den // rb_den
    target_num, target_den = target
    while lb_num <= rb_num:
        mid_num = (lb_num + rb_num) // 2
        mid_den = lcm_den
        mid_num, mid_den = simplify(mid_num, mid_den)
        mid = mid_num, mid_den
        if mid == target:
            return True
        elif mid < target:
            lb_num = mid_num + 1
        else:
            rb_num = mid_num - 1
    return False

该函数的输入参数 left、right 和 target 都是二元组，分别表示左侧边界、右侧边界和目标有理数。二元组的第一个元素表示分子，第二个元素表示分母。函数返回值为布尔类型，表示是否找到了目标有理数。

示例

下面是一个针对有理数 $\frac{5}{7}$ 的搜索示例：

>>> binary_search_rational((0, 1), (100, 1), (5, 7))
True

在这个示例中，我们以区间 $[0,100]$ 为初始范围，通过不断缩小区间来找到目标有理数 $\frac{5}{7}$。