生成正有理数的算法

有理数是可以表示成分子与分母都是整数的数，正有理数是指分子分母都为正整数的有理数。下面介绍几种生成正有理数的算法。

1. 暴力枚举法

暴力枚举法是最简单的方法，可以枚举所有可能的正有理数，并判断是否为正有理数。该算法时间复杂度较高，无法在较短的时间内生成大量的正有理数。

# 生成正有理数的暴力枚举法

def generate_rational_numbers(max_num):
    result = []
    for n in range(1, max_num + 1):
        for d in range(1, max_num + 1):
            if n < d and gcd(n, d) == 1:
                result.append((n, d))
    return result

# 最大分母数
max_num = 10

# 生成正有理数
rational_numbers = generate_rational_numbers(max_num)

# 输出结果
print(rational_numbers)

上述代码中，使用了内置的 gcd 函数来判断分子分母是否互质，从而确定是否为正有理数。

2. 连分数展开法

连分数展开法是一种将有理数转化为连分数的算法，通过不断迭代的方式生成无限多个正有理数。

# 生成正有理数的连分数展开法

def generate_rational_numbers(max_num):
    result = []
    for n in range(1, max_num + 1):
        a, b = 1, n
        while b <= max_num:
            result.append((a, b))
            a, b = b, a + b
    return result

# 最大分母数
max_num = 10

# 生成正有理数
rational_numbers = generate_rational_numbers(max_num)

# 输出结果
print(rational_numbers)

上述代码中，定义了一个迭代变量 a, b，每次迭代将 b 赋值给 a，将 a + b 赋值给 b，保证了生成的数列是正有理数，并不断添加到结果集合中。

3. 随机数生成法

随机数生成法是一种通过随机生成正整数来得到正有理数的方法，可以按照一定比例生成正有理数和非正有理数。

# 生成正有理数的随机数生成法

import random

def generate_rational_numbers(max_num, ratio=0.5):
    result = []
    for i in range(max_num):
        if random.random() < ratio:
            n = random.randint(1, max_num)
            d = random.randint(1, max_num)
            if n < d and gcd(n, d) == 1:
                result.append((n, d))
    return result

# 最大分母数
max_num = 10

# 生成正有理数
rational_numbers = generate_rational_numbers(max_num)

# 输出结果
print(rational_numbers)

上述代码中，使用了 random 模块来生成随机的分子和分母，然后使用 gcd 函数来判断是否为正有理数，最后存入结果集合中。

总结

以上介绍了几种生成正有理数的算法，包括暴力枚举法、连分数展开法和随机数生成法。不同的方法适用于不同的场景，可以根据具体情况选择使用。