具有整数交点的线对数

在一个平面上，有多条线段，现在需要统计其中具有整数交点的线对数。具体的，如果两条线段的交点横纵坐标均为整数，则认为这两条线段具有整数交点，需要统计这样的线段对数。

算法思路

假设现在有 $n$ 条线段，其中第 $i$ 条线段的起点为 $(x_i,y_i)$，终点为 $(u_i,v_i)$。则对于每两条线段 $i$ 和 $j$，可以计算它们的交点坐标 $(x_{ij},y_{ij})$，若坐标均为整数，则这两条线段具有整数交点。

具体地，两条不平行且不垂直的线段 $i$ 和 $j$ 的交点坐标为：

$$ \begin{cases} x_{ij}=\frac{(y_i-y_j)(u_i-u_j)(v_i-v_j)-(v_i-v_j)(x_i-x_j)(u_i-u_j)}{(y_i-y_j)(u_i-u_j)-(x_i-x_j)(v_i-v_j)}\ y_{ij}=\frac{(x_i-x_j)(v_i-v_j)(u_i-u_j)-(u_i-u_j)(y_i-y_j)(x_i-x_j)}{(y_i-y_j)(u_i-u_j)-(x_i-x_j)(v_i-v_j)} \end{cases} $$

利用以上公式，可以枚举所有的线段对，计算它们的交点坐标，判断坐标是否为整数，并统计整数交点坐标的线段对数。

时间复杂度

假设有 $n$ 条线段，计算每两条线段的交点需要 $O(1)$ 的时间，因此总时间复杂度为 $O(n^2)$。

示例代码

def count_intersction_lines(n, segments):
    """
    统计具有整数交点的线段对数
    :param n: 线段数量
    :param segments: 线段的起点和终点坐标，格式为 [(x1,y1,u1,v1), (x2,y2,u2,v2), ..., (xn,yn,un,vn)]
    :return: 具有整数交点的线段对数
    """
    cnt = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            # 计算两条线段的交点坐标
            xi, yi, ui, vi = segments[i]
            xj, yj, uj, vj = segments[j]
            x, y = (yi-yj)*(ui-uj)*(vi-vj)-(vi-vj)*(xi-xj)*(ui-uj),\
                   (xi-xj)*(vi-vj)*(ui-uj)-(ui-uj)*(yi-yj)*(xi-xj)
            t = (yi-yj)*(ui-uj)-(xi-xj)*(vi-vj)
            if t == 0:
                # 两条线段平行或重合，跳过
                continue
            # 判断交点坐标是否为整数
            if x % t == y % t == 0:
                cnt += 1
    return cnt

以上是一个使用 Python 语言实现的具有整数交点的线段对数统计算法。