UGC NET CS 2016年8月-III问题40介绍

简介

UGC NET CS是印度国家资格测试委员会(NET)组织的，旨在评估印度大学教师和研究生的能力和素质。问题40是2016年8月UGC NET CS的一道计算机科学题目，涉及到了编程语言和数据结构等知识。

题目

以下是问题40的题目：

给定一个连通的无向图G，其中每个边权重为1或2。计算距离为k的两个所有点之间至少有一个边的对数。

解析

此题需要计算距离为k的所有点对中至少有一条边的数量。一个朴素的方法是枚举所有的点对，利用深度优先搜索或广度优先搜索遍历距离为k的路径，并计算路径上至少存在一条边的数量。时间复杂度为O(n^2 * k)，其中n为节点数量。

更高效的方法是利用矩阵乘法，可达矩阵和平均路径长度的概念，时间复杂度为O(n^3 * log k)。另外，使用Floyd算法也能够实现相同的时间复杂度。

代码

以下是用Python实现矩阵乘法的代码片段：

# 定义矩阵乘法函数
def matrix_multiply(a, b):
    n1, m1 = len(a), len(a[0])
    n2, m2 = len(b), len(b[0])
    assert m1 == n2
    result = [[0] * m2 for i in range(n1)]
    for i in range(n1):
        for j in range(m2):
            for k in range(m1):
                result[i][j] += a[i][k] * b[k][j]
    return result

# 计算可达矩阵
def get_reach_matrix(adj_matrix, k):
    n = len(adj_matrix)
    reach_matrix = [[0] * n for i in range(n)]
    reach_matrix = [[1 if adj_matrix[i][j] else 0 for j in range(n)] for i in range(n)]
    for i in range(k - 1):
        reach_matrix = matrix_multiply(reach_matrix, adj_matrix)
    return reach_matrix

# 计算距离为k的点对数
def get_pair_count(adj_matrix, k):
    reach_matrix = get_reach_matrix(adj_matrix, k)
    n = len(adj_matrix)
    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if reach_matrix[i][j] > 0:
                count += 1
    return count

其中，adj_matrix为邻接矩阵，k为距离，get_pair_count函数返回距离为k的点对至少有一条边的数量。将以上代码添加到markdown中即可。