UGC NET CS 2015 年 6 月 – III | 问题 25

这是一道计算机科学领域的问题，主要探讨了数据结构的应用。在UGC NET CS 2015年6月第三场考试中出现。以下是问题的相关信息以及解决方案。

问题描述

给定一个大小为 $n$ 的数组，其中每个元素都是 $1$ 或 $2$。编写一个算法来对这个数组进行排序。

在本例中，只能对数组进行 $2$ 种操作，即交换和重排。 重排操作按照原始顺序打乱数组中的元素顺序，而交换操作可以交换任意两个元素。

你的算法应该能够最小化交换操作的数量。

解决方案

这是一个典型的排序问题，可以使用多种数据结构来解决，例如：

• 冒泡排序
• 插入排序
• 快速排序
• 归并排序

当然，本题中还有一个重要限制条件，只能进行常规排序操作的一小部分。所以需要考虑如何利用仅有的两种特殊操作。下面分别说明一下这几个算法的应用。

冒泡排序

冒泡排序是一种简单的排序算法，它会对数组进行多次遍历，每次遍历会比较相邻的两个元素，如果他们的顺序不对，就进行交换。

def bubble_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        for j in range(n-i-1):
            if arr[j] > arr[j+1]:
                arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]
    return arr

在本题中，冒泡排序并不是最优的选择，因为如果数组中仅有 $1$ 和 $2$ 两种元素，那么一旦找到一个 $2$ 就可以交换到最后，而冒泡排序在不断比较相邻的元素，效率会比较低。

插入排序

插入排序是一种简单且高效的算法，它会将数组分为已排序区间和未排序区间，每次从未排序区间中选取一个元素插入到已排序区间的合适位置。

def insert_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(1, n):
        key = arr[i]
        j = i - 1
        while j >= 0 and arr[j] > key:
            arr[j+1] = arr[j]
            j -= 1
        arr[j+1] = key
    return arr

在本题中，插入排序同样不是最优选择，因为它需要不断地将元素插入到已排序区间的合适位置，而我们只能通过交换和重排来进行排序。

快速排序

快速排序是一种高效的排序算法，它使用分治的策略，每次将数组分成两个子数组，然后对两个子数组进行递归排序。

def quick_sort(arr, l, r):
    if l < r:
        pi = partition(arr, l, r)
        quick_sort(arr, l, pi-1)
        quick_sort(arr, pi+1, r)

def partition(arr, l, r):
    pivot = arr[r]
    i = l - 1
    for j in range(l, r):
        if arr[j] < pivot:
            i += 1
            arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
    arr[i+1], arr[r] = arr[r], arr[i+1]
    return i+1

在本题中，快速排序同样不是最优选择，因为它需要进行多次的比较和交换操作，而我们只能使用两种特殊操作。

归并排序

归并排序也是一种高效的排序算法，它使用分治的策略，每次将数组分成两个子数组，然后对两个子数组进行递归排序，最后将两个有序的子数组归并成一个有序的数组。

def merge_sort(arr):
    if len(arr) > 1:
        mid = len(arr) // 2
        L = arr[:mid]
        R = arr[mid:]
        merge_sort(L)
        merge_sort(R)
        i = j = k = 0
        while i < len(L) and j < len(R):
            if L[i] < R[j]:
                arr[k] = L[i]
                i += 1
            else:
                arr[k] = R[j]
                j += 1
            k += 1
        while i < len(L):
            arr[k] = L[i]
            i += 1
            k += 1
        while j < len(R):
            arr[k] = R[j]
            j += 1
            k += 1
    return arr

在本题中，归并排序是最优选择，因为我们可以通过重排操作将数组中的所有 $1$ 以及所有 $2$ 分别排列到一起，然后对这两组元素进行排序，最后将它们拼接起来即可。

def special_sort(arr):
    n = len(arr)
    ones = arr.count(1)
    twos = n - ones
    rearrange(arr, ones, twos)
    if ones == 0 or twos == 0:
        return arr
    if ones == twos:
        return [1, 2] * ones
    if ones < twos:
        arr = [2] * twos
        i = ones
        while i < twos:
            arr[i], arr[i+1] = arr[i+1], arr[i]
            i += 2
    else:
        arr = [1] * ones
        i = twos
        while i < ones:
            arr[i], arr[i+1] = arr[i+1], arr[i]
            i += 2
    return arr

def rearrange(arr, ones, twos):
    i = j = 0
    while ones and twos:
        if arr[i] == 1:
            i += 1
            ones -= 1
        else:
            while j < len(arr) and arr[j] == 2:
                j += 1
                twos -= 1
            if j < len(arr) and arr[j] == 1:
                arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
                ones -= 1
            else:
                break    

arr = [2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2]
sorted_arr = special_sort(arr)
print(sorted_arr)

以上就是本题的解决方案和代码实现，欢迎参考。