教资会网络 | UGC NET CS 2016 年 8 月 – III | 问题 25

本题涉及到数据结构和算法的知识，要求学生能够理解树和图的基本概念，并具有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）算法的实际应用能力。

问题描述

给定一个无向连通图 $G=(V,E)$，其邻接矩阵表示为 $A$，其中 $A[i][j]=1$ 表示 $i$ 和 $j$ 之间有一条边，否则等于 $0$。假设 $G$ 的起点为节点 $0$，请编写一个程序，从 $G$ 的起点出发，遍历整张图，输出遍历过的所有节点的编号，要求使用 DFS 和 BFS 两种遍历算法。

算法分析

深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索是一种基于栈实现的搜索算法。从起点开始，将其压入栈中，然后不断弹出栈顶元素并访问其相邻未被访问过的节点，将这些节点压入栈中。重复该过程直到栈为空，此时所有可达的节点均已访问。

DFS 可以看作是一个递归的过程，具体实现可参考下面的代码片段：

visited = set()

def dfs(graph, v):
    visited.add(v)
    print(v, end=' ')
    for w in graph[v]:
        if w not in visited:
            dfs(graph, w)

其中，graph 表示图的邻接表表示，v 是当前访问的节点。visited 集合用于记录已访问的节点，防止重复遍历。

广度优先搜索（BFS）

广度优先搜索是一种基于队列实现的搜索算法。从起点开始，将其入队，然后不断出队列首元素并访问其相邻未被访问过的节点，将这些节点入队。重复该过程直到队列为空，此时所有可达的节点均已访问。

BFS 可以看作是一个迭代的过程，具体实现可参考下面的代码片段：

from collections import deque

visited = set()

def bfs(graph, v):
    queue = deque([v])
    visited.add(v)
    while queue:
        v = queue.popleft()
        print(v, end=' ')
        for w in graph[v]:
            if w not in visited:
                visited.add(w)
                queue.append(w)

其中，graph 表示图的邻接表表示，v 是起点。visited 集合用于记录已访问的节点，防止重复遍历。deque 是 Python 标准库中的双端队列实现，可以高效地支持队列操作。

参考代码

以下是完整的 Python 代码，包含了 DFS 和 BFS 两种遍历算法的实现：

from collections import deque

def dfs(graph, v, visited):
    visited.add(v)
    print(v, end=' ')
    for w in graph[v]:
        if w not in visited:
            dfs(graph, w, visited)

def bfs(graph, v, visited):
    queue = deque([v])
    visited.add(v)
    while queue:
        v = queue.popleft()
        print(v, end=' ')
        for w in graph[v]:
            if w not in visited:
                visited.add(w)
                queue.append(w)

if __name__ == '__main__':
    # 测试数据
    A = [[0, 1, 1, 0, 0, 0],
         [1, 0, 0, 1, 1, 0],
         [1, 0, 0, 0, 1, 1],
         [0, 1, 0, 0, 0, 1],
         [0, 1, 1, 0, 0, 1],
         [0, 0, 1, 1, 1, 0]]
    graph = {}
    for i in range(len(A)):
        graph[i] = [j for j in range(len(A[i])) if A[i][j] == 1]

    # DFS
    visited = set()
    dfs(graph, 0, visited)
    print()

    # BFS
    visited = set()
    bfs(graph, 0, visited)
    print()

其中，graph 变量是图的邻接表表示，由邻接矩阵转换而来。测试数据中的邻接矩阵表示下图：

     0
    / \
   1 - 2
  /   / \
 3   4 - 5