门|门模拟 2017 | 问题 5

介绍

这是一道《门|门模拟 2017》竞赛中的问题5。问题描述：有 $n$ 个门，每个门都有一个状态，可以是打开或关闭。现在给出两个参数 $a$ 和 $b$，每次可以选择 $[a,b]$ 个门进行操作，将它们的状态全部翻转。现在给定目标状态，问是否可以通过有限次的操作从初始状态达到目标状态。

思路

这是一道典型的搜索问题。首先，我们需要对每一个门都进行讨论：要么被翻转，要么没有被翻转。我们可以使用 $0$ 表示门没有被翻转，$1$ 表示门被翻转。

接着，考虑如何对每一次翻转操作进行描述。我们可以定义一个二进制数表示这些门的状态，每一位对应一个门，如果这个门被翻转了，则对应的这一位为 $1$，否则为 $0$。假设我们正在进行操作的门的状态二进制数为 $x$，则操作后这些门的状态为 $x \oplus (2^i-1)$，其中 $i$ 表示位置。

最后，我们可以采用广度优先搜索算法，逐一枚举所有的操作情况（共有 $2^n$ 种情况），寻找从初始状态到目标状态的一条最短路径。

示例代码

from collections import deque

def bfs(init_state, target_state, n, max_n):
    q = deque()
    q.append((0, init_state))
    visited = set()
    visited.add(init_state)
    while len(q) > 0:
        step, state = q.popleft()
        if state == target_state:
            return step
        for i in range(n):
            for j in range(i, min(n, i+max_n)):
                new_state = state ^ ((1 << (j-i+1))-1) << i
                if new_state not in visited:
                    q.append((step+1, new_state))
                    visited.add(new_state)
    return -1

def main():
    n, a, b = map(int, input().split())
    init_state = int(input().replace(' ', ''), 2)
    target_state = int(input().replace(' ', ''), 2)
    max_n = min(b, n)
    ans = bfs(init_state, target_state, n, max_n)
    print(ans)

if __name__ == '__main__':
    main()

下面是代码片段的解释说明（markdown格式）：

# 导入 deque 模块，用于实现队列
from collections import deque

# 定义广度优先搜索算法
def bfs(init_state, target_state, n, max_n):
    # 使用双端队列 q 存储状态信息，队列中的元素是一个二元组，第一元素是转换的步骤数，第二个元素是当前状态
    q = deque()
    q.append((0, init_state))
    # 定义 visited 集合，用于存储访问过的状态信息
    visited = set()
    visited.add(init_state)
    while len(q) > 0:
        step, state = q.popleft()
        if state == target_state:
            return step
        # 枚举所有的操作情况
        for i in range(n):
            for j in range(i, min(n, i+max_n)):
                new_state = state ^ ((1 << (j-i+1))-1) << i
                # 判断新状态是否访问过
                if new_state not in visited:
                    # 如果新状态未访问，则将新状态加入队列中，并更新 visited 集合
                    q.append((step+1, new_state))
                    visited.add(new_state)
    # 如果不存在路径，则返回 -1
    return -1

# 定义主函数
def main():
    # 读入输入
    n, a, b = map(int, input().split())
    init_state = int(input().replace(' ', ''), 2)
    target_state = int(input().replace(' ', ''), 2)
    # 计算每次操作最多可以操作的门的数量
    max_n = min(b, n)
    # 调用 bfs 函数计算最短路径，并将结果打印出来
    ans = bfs(init_state, target_state, n, max_n)
    print(ans)

# 当前脚本执行时，执行 main 函数
if __name__ == '__main__':
    main()

参考资料

• 算法竞赛进阶指南 第二版