计算大小为 N 且相邻对的乘积之和等于 K 的二进制数组的计数

在开始介绍计算大小为 N 且相邻对的乘积之和等于 K 的二进制数组的计数之前，我们需要先了解什么是二进制数组。

二进制数组是一个只包含 0 和 1 的数组，例如 [0, 1, 0, 1, 1] 就是一个二进制数组。现在我们需要计算大小为 N 且相邻对的乘积之和等于 K 的二进制数组的计数。例如当 N=3，K=5 时，满足条件的二进制数组有 [1, 0, 1] 和 [0, 1, 0] 两个。

那么如何计算呢？我们可以使用动态规划来解决这个问题。

首先我们定义 dp[n][k] 表示大小为 n 且相邻对的乘积之和等于 k 的二进制数组的计数。那么当 n=1 时，我们可以得到以下结果：

dp[1][0] = 1 dp[1][1] = 1

这是因为当 n=1 时，只有两种情况，要么是 [0]，要么是 [1]，因此当 k=0 时，只有 [0] 这一种情况，而当 k=1 时，只有 [1] 这一种情况。

接下来我们考虑如何计算 dp[n][k]。我们可以使用以下公式来更新 dp[n][k]：

dp[n][k] = dp[n-1][k-0] + dp[n-1][k-1] + ... + dp[n-1][k-(n-1)]

这是因为当我们需要构造一个大小为 n 的二进制数组时，我们只需要在一个长度为 n-1 的二进制数组的末尾加上一个 0 或者 1 即可。而这个长度为 n-1 的二进制数组中相邻对的乘积之和等于 k-0、k-1、...、k-(n-1) 的数量，就是我们需要累加的结果。

最后的答案就是 dp[n][k]。

下面是使用 Python 代码实现计算大小为 N 且相邻对的乘积之和等于 K 的二进制数组的计数：

def count_binary_arrays(n, k):
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[1][0], dp[1][1] = 1, 1
    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(i - 1, k + 1):
            for l in range(max(0, j - (i - 1)), j + 1):
                dp[i][j] += dp[i - 1][l]
    return dp[n][k]

代码中的三重循环分别用来遍历长度为 n、相邻对的乘积之和为 k 的二进制数组，长度为 n-1、相邻对的乘积之和为 0、1、...、n-2 的二进制数组，以及在长度为 n-1 的二进制数组的末尾添加 0 或者 1 后得到的长度为 n、相邻对的乘积之和为 k 的二进制数组。时间复杂度为 O(N^3)。

可以看到，使用动态规划计算大小为 N 且相邻对的乘积之和等于 K 的二进制数组的计数是一种高效且简单的算法。