填充 NxM 网格所需的最小整数数

假设给定一个网格，其大小为 $N \times M$，每个格子中都必须填充一个非负整数，使得相邻格子中填充的非负整数之差的绝对值大于等于1。求填充整个网格所需的最小整数数。

解题思路

这是一道动态规划问题，可以采用二维数组 dp 来存储填充整个网格时所需的最小整数数。可以用 dp[i][j] 表示填充到网格中第 $i$ 行第 $j$ 列时所需的最小整数数。

对于某个格子，假设其坐标为 $(i,j)$，其上下左右四个方向分别为 $(i-1,j)$、$(i+1,j)$、$(i,j-1)$ 和 $(i,j+1)$。设当前格子上填充的整数为 $num$，则可以得到如下状态转移方程：

$$ dp[i][j] = \min{dp[i-1][j],dp[i+1][j],dp[i][j-1],dp[i][j+1]} + \max{0,|num - dp[i-1][j]| - 1} + \max{0,|num - dp[i+1][j]| - 1} + \max{0,|num - dp[i][j-1]| - 1} + \max{0,|num - dp[i][j+1]| - 1} $$

其中，第一项表示按照左、右、上、下四个方向的填充顺序，到达当前格子时所需填充的最小整数数；后面四项则表示当前格子上下左右四个方向的填充情况，其实就是根据绝对值 $|num - dp[i][j']|$ 和 1 之间大小的关系，判断是否需要加上 1。

初始状态可以将 dp[0][0] 置为 0，其余格子的值初始化为 $\max(N,M)$。最终结果即为 dp[N-1][M-1]。

代码实现

以下是 Python 3 语言的代码实现：

def fill_grid(N, M):
    dp = [[0x7fffffff] * M for _ in range(N)]
    dp[0][0] = 0
    for i in range(N):
        for j in range(M):
            for x, y in [(i - 1, j), (i + 1, j), (i, j - 1), (i, j + 1)]:
                if 0 <= x < N and 0 <= y < M:
                    num = max(dp[x][y], dp[i][j])
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], num + abs(dp[x][y] - dp[i][j]) + 1)
    return dp[N-1][M-1]

其中，N 和 M 分别表示网格的行数和列数，dp 二维数组用于存储动态规划状态。函数返回网格中填充整数所需的最小数值。