国王在M步内能到达的位置

题目描述

给定一个8x8的棋盘和国际象棋中的国王，国王可以在一步内移动到上下左右和对角线上的任意一个相邻的格子。 现在，给定一个国王的位置和一个步数M，求出国王在M步内可以到达的位置总数。

示例

输入

king_position = (3,3)
steps = 2

输出

19

解题思路

这个问题可以通过递归地搜索来解决。每一次递归，我们传入当前的国王位置和步数，然后依次搜索所有可能的下一步。

具体来说，对于当前国王的位置 (x, y)，我们可以尝试向上、向下、向左、向右、向左上、向右上、向左下和向右下移动。如果当前的步数 M 没有达到上限，则递归调用函数搜索下一步的可能性。

需要注意的是，在每一次递归中，我们需要判断当前步数是否达到上限，以及当前国王位置是否超出棋盘边界。

代码实现

def count_positions(king_position, steps):
    """
    在M步内可以到达的位置总数
    :param king_position: 国王坐标
    :param steps: 最大步数M
    :return: 总位置数
    """
    return _count_positions(king_position[0], king_position[1], steps)

def _count_positions(x, y, steps):
    """
    递归搜索
    :param x: 国王x坐标
    :param y: 国王y坐标
    :param steps: 最大步数M
    :return: 总位置数
    """
    if x < 0 or x > 7 or y < 0 or y > 7 or steps < 0:
        # 国王移动越界或者超过步数限制
        return 0
    if steps == 0:
        # 国王不能再移动
        return 1
    count = 0
    # 尝试向上、向下、向左、向右、向左上、向右上、向左下和向右下移动
    moves = [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0), (1, 1), (-1, 1), (1, -1), (-1, -1)]
    for dx, dy in moves:
        count += _count_positions(x + dx, y + dy, steps - 1)
    return count

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(8^M)$，其中 M 表示国王可以移动的最大步数。因为每个格子最多向八个方向移动，因此总共有 $8^M$ 种可能性。
• 空间复杂度：$O(M)$，因为最深的递归深度为 M。