二进制矩阵中的最大十进制值路径

简介

给定一个 n × n 的二进制矩阵，找到一个从左上角到右下角的路径，使得所经过的二进制数值的和最大。每次移动时只能向右或向下移动。

方法

使用动态规划，定义 dp[i][j] 表示到 (i,j) 的位置上的最大十进制值。可以得出以下状态方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j]*2 + grid[i][j], dp[i][j-1]*2 + grid[i][j])

其中 grid[i][j] 表示 (i,j) 位置上的二进制数值。最终返回 dp[n-1][n-1] 即可。

代码

def getMaximumValuePath(grid: List[List[int]]) -> int:
    n = len(grid)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    dp[0][0] = grid[0][0]
    for i in range(1, n):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] * 2 + grid[i][0]
        dp[0][i] = dp[0][i-1] * 2 + grid[0][i]
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j]*2 + grid[i][j], dp[i][j-1]*2 + grid[i][j])
    return dp[n-1][n-1]

总结

本题思路简单，但需要细心，尤其是在状态方程的编写中。时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。