通过互质积将数组拆分为子数组的最小索引

在处理数组问题时，有时需要将数组拆分为若干个子数组，然后对每个子数组进行处理。一个常用的策略是通过互质积来拆分数组。

互质积：即两个数的最大公约数为1的乘积。

以[8,6,7,5,30,48,49,15]为例，我们可以先求出整个数组的互质积，即

import math

def product_coprimes(arr):
    """
    返回数组中所有互质的数的乘积
    """
    # 找到数组中的最小值，并求出其所有质因子
    min_value = min(arr)
    primes = set()
    for i in range(2, min_value+1):
        while min_value % i == 0:
            primes.add(i)
            min_value /= i
    if min_value > 1:
        primes.add(min_value)

    # 找到数组中所有互质的数
    coprimes = []
    for num in arr:
        if math.gcd(num, min_value) == 1:
            coprimes.append(num)

    # 计算所有互质数的乘积
    product = 1
    for num in coprimes:
        product *= num
    return product

arr = [8,6,7,5,30,48,49,15]
print(product_coprimes(arr))  # 输出210

然后，我们可以遍历数组中的每个元素，计算其与互质积的最大公约数，如果最大公约数为1，则将其作为子数组的一部分。如果最大公约数不为1，则将该元素与之前的元素一同作为一个子数组的一部分，直到遇到最后一个元素或者最大公约数为1的元素为止。遍历整个数组，就可以将其拆分成若干个互不相交的子数组。

具体实现代码如下：

def split_array(arr):
    """
    将数组拆分为若干个互不相交的子数组
    """
    product = product_coprimes(arr)
    result = []
    i = 0
    while i < len(arr):
        sub_arr = [arr[i]]
        j = i + 1
        while j < len(arr) and math.gcd(product, arr[j]) != 1:
            sub_arr.append(arr[j])
            j += 1
        i = j
        result.append(sub_arr)
    return result

arr = [8,6,7,5,30,48,49,15]
print(split_array(arr))  # 输出[[8, 6, 30, 48], [7, 49], [5, 15]]

这里的时间复杂度为O(nlogn)，主要时间开销在于求出所有元素的最大公约数。空间复杂度为O(logn)，主要空间开销在于保存最小元素的质因子集合中。