从每个索引开始的最长交替(正负)子数组

当我们面对一个数组时，有时候我们需要找到最长的交替(正负)子数组。也就是说，我们要找到这样一个子数组，它的元素是交替排列的正数和负数，并且它是最长的。在本文中，我们将探讨如何解决这个问题。

问题描述

给定一个整数数组 $nums$，请编写一个函数，返回从每个索引开始的最长交替(正负)子数组的长度。如果数组的元素都是正数或负数，则最长交替子数组的长度为 $1$。例如，对于数组 $[1,-2,3,-4]$，返回 $[2,1,2,1]$，因为：

• 从索引 $0$ 开始的最长交替子数组是 $[1, -2]$，长度为 $2$；
• 从索引 $1$ 开始的最长交替子数组是 $[-2]$，长度为 $1$；
• 从索引 $2$ 开始的最长交替子数组是 $[3, -4]$，长度为 $2$；
• 从索引 $3$ 开始的最长交替子数组是 $[-4]$，长度为 $1$。

解题思路

我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。令 $dp[i][0]$ 表示从第 $i$ 个位置开始的以正数结尾的最长交替子数组的长度，令 $dp[i][1]$ 表示从第 $i$ 个位置开始的以负数结尾的最长交替子数组的长度。于是，我们可以得到以下的状态转移方程：

• 若 $nums[i] > 0$，则 $dp[i][0] = dp[i-1][1] + 1$，$dp[i][1] = dp[i-1][0]$；
• 若 $nums[i] < 0$，则 $dp[i][1] = dp[i-1][0] + 1$，$dp[i][0] = dp[i-1][1]$；
• 若 $nums[i] = 0$，则 $dp[i][0] = dp[i-1][0]$，$dp[i][1] = dp[i-1][1]$。

最终的结果是 $max(dp[i][0], dp[i][1])$，因为我们要求的是最长的交替子数组的长度。

代码实现

以下是 Python 代码的实现，时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$：

def alternating_subarrays(nums: List[int]) -> List[int]:
    n = len(nums)
    dp = [[0, 0] for _ in range(n)]
    for i in range(n-1, -1, -1):
        if nums[i] > 0:
            dp[i][0] = dp[i+1][1] + 1
            dp[i][1] = dp[i+1][0]
        elif nums[i] < 0:
            dp[i][1] = dp[i+1][0] + 1
            dp[i][0] = dp[i+1][1]
        else:
            dp[i][0] = dp[i+1][0]
            dp[i][1] = dp[i+1][1]
    return [max(dp[i][0], dp[i][1]) for i in range(n)]

总结

本文介绍了如何解决最长交替(正负)子数组的问题。我们使用了动态规划的方法，得到了 $O(n)$ 的时间复杂度。我们还提供了 Python 代码的实现，以供参考。