问题28:

给定一个由$n$（$n>0$）个整数组成的数组$a$，编写一个O（$n$）时间算法，找到数组中的所有领袖。领袖是指在数组中出现次数超过$\frac{n}{2}$的元素。

解决方案:

该问题可以通过 Moore’s Voting Algorithm（摩尔投票算法）解决，时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。

算法步骤如下：

1. 初始化变量 $candidate \gets None$ 和 $count \gets 0$ 。

2. 遍历数组$a$，对于每个元素$a_i$，执行以下操作：

   a. 如果 $count=0$ ，将 $candidate$ 赋值为 $a_i$ 。

   b. 如果 $candidate=a_i$ ，则 $count=count+1$ 。

   c. 如果 $candidate\neq a_i$ ，则 $count=count-1$ 。

3. 第一次遍历完成后，$candidate$ 可能是领袖，但还需要进行第二次遍历以验证。

4. 第二次遍历数组$a$，统计 $candidate$ 在数组中出现的次数。如果出现次数超过 $\frac{n}{2}$ ，则 $candidate$ 是领袖，将其加入结果数组中。

代码如下：

def find_leader(arr):
    candidate = None
    count = 0
    for num in arr:
        if count == 0:
            candidate = num
        if candidate == num:
            count += 1
        else:
            count -= 1
    count = 0
    for num in arr:
        if num == candidate:
            count += 1
    if count > len(arr) // 2:
        return candidate
    else:
        return None

复杂度分析

• 时间复杂度：遍历数组两次，时间复杂度为 $O(n)$。
• 空间复杂度：仅使用了常量级别的额外空间，空间复杂度为 $O(1)$。