门| GATE-CS-2004 |问题12

这道题目出现在2004年的计算机科学门考试中，考查了对于逻辑电路的理解及设计。这也是在实际应用中常常会出现的题型。下面我们来介绍一下这道题目以及解题思路。

题目描述

一个门电路有两个输入线 $p,q$ 和三个输出线 $f,g,h$。输出的计算如下：

• $f = (p\oplus q)\oplus q$
• $g= p \oplus q$
• $h= p\oplus (f\oplus g)$

其中 $\oplus$ 是异或运算。现在我们给出了一些关于输出的条件，求出输入 $p,q$ 可能的取值。

• $f=0,g=1,h=1$
• $f=1,g=0,h=1$
• $f=1,g=1,h=0$

解题思路

首先我们来理解一下门电路以及逻辑运算。在门电路中，有很多逻辑门，例如与门、或门、非门、异或门等等，它们的输入都是布尔类型的，也就是只有两个取值 $0$ 和 $1$。

对于逻辑运算，我们在中学时学习了很多，例如与、或、非、异或等等，这些运算也可以用布尔类型的变量表示。

现在我们来看这道题目，根据题目给出的 $f,g,h$ 值，我们可以列出如下的表格：

| $p$ | $q$ | $p\oplus q$ | $(p\oplus q)\oplus q$ | $p\oplus(q\oplus p\oplus q)$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | | $0$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ | | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ |

其中第三列是 $p \oplus q$，第四列是 $(p\oplus q)\oplus q$，第五列是 $p\oplus(q\oplus p\oplus q)$。现在我们来分别分析每个输出值对应的输入取值。

$f=0,g=1,h=1$

根据表格可知，当 $f=0$ 时，只有 $(p\oplus q)\oplus q=0$，此时 $p=q$。当 $g=1$ 时，此时 $p\oplus q=1$，也就是说 $p\neq q$。我们可以结合上述两个条件，得出 $p=1,q=0$ 或 $p=0,q=1$。

现在我们来验证一下 $h=1$ 是否成立。当 $p=1,q=0$ 时，$f=1,g=1,h=0$。当 $p=0,q=1$ 时，$f=1,g=1,h=0$。因此，输入取值可以是 $(1,0)$ 或 $(0,1)$。

$f=1,g=0,h=1$

根据表格可知，当 $f=1$ 时，只有 $(p\oplus q)\oplus q=1$，此时 $p\neq q$。当 $g=0$ 时，此时 $p\oplus q=0$，也就是说 $p=q$。我们可以结合上述两个条件，得出 $p=1,q=0$ 或 $p=0,q=1$。

现在我们来验证一下 $h=1$ 是否成立。当 $p=1,q=0$ 时，$f=1,g=0,h=1$。当 $p=0,q=1$ 时，$f=1,g=0,h=1$。因此，输入取值可以是 $(1,0)$ 或 $(0,1)$。

$f=1,g=1,h=0$

根据表格可知，当 $f=1$ 时，只有 $(p\oplus q)\oplus q=1$，此时 $p\neq q$。当 $g=1$ 时，此时 $p\oplus q=1$，也就是说 $p\neq q$。我们可以结合上述两个条件，得出 $p=1,q=0$ 或 $p=0,q=1$。

现在我们来验证一下 $h=0$ 是否成立。当 $p=1,q=0$ 时，$f=1,g=1,h=0$。当 $p=0,q=1$ 时，$f=1,g=1,h=0$。因此，输入取值可以是 $(1,0)$ 或 $(0,1)$。

总结

本题考查了对于逻辑电路的理解及设计。通过列出真值表，我们可以得出 $f,g,h$ 值对应的输入取值。对于实际应用中的逻辑电路设计，我们也可以通过类似的方法，通过列出真值表，来得到输入的取值。