矩阵乘法 | 递归的

简介

矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一，也是计算机图形学等领域常用的运算之一。矩阵乘法可以用递归的方式进行计算，这种方式可以简化算法实现，提高代码可读性。

算法思路

矩阵乘法的本质是将一个矩阵与另一个矩阵相乘，得到一个新的矩阵。设矩阵A是一个m行n列的矩阵，矩阵B是一个n行p列的矩阵，它们的乘积矩阵C是一个m行p列的矩阵。那么对于矩阵C中的每个元素Cij，其计算公式为：

Cij = Σ (AikBkj)

其中，k的取值范围是1到n。这个公式的意思是：将矩阵A中的第i行与矩阵B中的第j列逐个元素相乘，然后将相乘的结果累加起来，就得到了Cij的值。

递归的思路是将A、B、C三个矩阵各拆分成四个子矩阵，然后分别对这些子矩阵进行矩阵乘法运算。具体而言，假设A、B、C矩阵的大小都是2的幂次方，那么可以将它们分别拆分成4个大小为2的幂次方-1的子矩阵。然后对于矩阵C中的每个元素Cij，可以将其计算公式写成以下形式：

Cij = A00B00 + A01B10 + A10B01 + A11B11

其中，Aik和Bkj分别表示A矩阵和B矩阵中的第i行第k列和第k行第j列的元素，0和1表示拆分出来的四个子矩阵。这个公式的实现方式就是将A、B、C矩阵的每个子矩阵作为参数传入递归函数，并在函数内部对它们进行拆分和计算。

代码示例

下面是一个递归实现的矩阵乘法代码示例：

def matrix_mul_recursive(a, b, c):
    n = len(a)
    if n == 1:
        c[0][0] = a[0][0] * b[0][0]
        return
    else:
        a11, a12, a21, a22 = split_matrix(a)
        b11, b12, b21, b22 = split_matrix(b)
        c11, c12, c21, c22 = split_matrix(c)
        matrix_mul_recursive(add_matrix(a11, a22), add_matrix(b11, b22), c11)
        matrix_mul_recursive(add_matrix(a21, a22), b11, c12)
        matrix_mul_recursive(a11, sub_matrix(b12, b22), c21)
        matrix_mul_recursive(a22, sub_matrix(b21, b11), c22)
        merge_matrix(c, c11, c12, c21, c22)

其中，split_matrix(a)函数用于将矩阵a按照上述规则进行拆分；add_matrix(a, b)函数用于将矩阵a和矩阵b对应位置相加；sub_matrix(a, b)函数用于将矩阵a和矩阵b对应位置相减；merge_matrix(c, c11, c12, c21, c22)函数用于将四个子矩阵合并到c矩阵中。

性能分析

递归实现的矩阵乘法的时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。与普通的矩阵乘法相比，递归矩阵乘法在时间复杂度上没有优势，但是在实际应用中，递归矩阵乘法的常数因子更小，因此一些复杂的应用场景中，递归矩阵乘法的效率可能更高。

总结

递归矩阵乘法是一种高效、简洁的矩阵乘法实现方式。虽然其时间复杂度没有普通矩阵乘法的优势，但是在一些特定的应用场景中，递归矩阵乘法的效率可能更高，因此在实际应用中可以灵活选择具体的算法实现方式。