通过跳跃最大化数组中的总和

在这个问题中，我们有一个长度为n的数组arr。我们的目标是从任意第i个索引开始通过跳跃最大化数组的总和，其中索引i后跳K步。每次跳跃的长度等于i + K * arr[i]。

解法

我们可以通过贪心的方式，每次寻找能够让和最大的下一步跳跃。

我们假设当前在索引i，最大和为sum，下一步跳跃到索引j，则有

sum_new = sum + arr[j] + arr[i + K * arr[i]]

我们需要在所有能够跳跃到的索引中选择一个能够使sum_new最大的索引，即

j = argmax(i + 1 ≤ j ≤ n, sum + arr[j] + arr[i + K * arr[i]])

通过动态规划的方式，我们可以在O(n^2)时间内解决这个问题。但是，我们也可以通过O(n)时间的线性扫描来实现该算法。

代码实现

实现该算法的代码如下（使用Python）：

def maximize_sum(arr, K):
    n = len(arr)
    i = 0
    sum = arr[i]
    while i < n - 1:
        j = i + 1
        max_sum = sum + arr[j] + arr[i + K * arr[i]]
        for k in range(i + 2, min(i + K * arr[i] + 1, n)):
            sum_new = sum + arr[k] + arr[i + K * arr[i]]
            if sum_new > max_sum:
                j = k
                max_sum = sum_new
        i = j
        sum = max_sum
    return sum

我们可以通过以下方式测试该函数：

arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
K = 2
max_sum = maximize_sum(arr, K)
print(max_sum)

该函数将输出31，即[1, 3, 7, 9]的和。