通过数组元素取反和减一操作来最大化数组乘积

问题描述

给定一个由 $n$ 个整数组成的数组 $arr$，你可以任意次数执行以下两种操作之一：

1. 将任意一个元素 $arr[i]$ 取反（即变为 $-arr[i]$）；
2. 将任意一个元素 $arr[i]$ 减一。

请编写一个函数，返回操作后能够得到的最大数组乘积。

解法思路

我们可以设计一个贪心算法来解决这道题目。

对于数组中的任意一个元素 $x$，其乘积对结果的影响有两个方面：

1. 如果 $x > 0$，乘积会增加；
2. 如果 $x < 0$，乘积会减少。

因此，我们可以将数组分为两个部分：

1. 正数部分，即所有大于 $0$ 的元素；
2. 负数部分，即所有小于等于 $0$ 的元素。

对于正数部分来说，我们不需要进行任何操作，因为任何操作都会使其变小。

对于负数部分来说，我们可以通过一定的操作使其变为正数，并且在变为正数的过程中，我们也可以尽可能地使它们的乘积最大。

如果一个元素 $x$ 是负数，我们可以对它执行如下两种操作之一：

1. 如果 $x$ 的绝对值是偶数，我们直接将其取反（即将其变为正数）；
2. 如果 $x$ 的绝对值是奇数，我们先将其减一，再将其取反。

对于一组负数来说，我们可以对其中的元素按照绝对值从大到小排序，然后依次使用上述操作，直至将它们全部变为正数。

最后，我们将所有元素的值相乘即可得到最大乘积。具体实现请参考下面的代码片段。

代码实现

def maximize_product(arr: List[int]) -> int:
    pos = [x for x in arr if x > 0]
    neg = [x for x in arr if x <= 0]

    # 对于负数部分，按照绝对值从大到小排序
    neg.sort(key=lambda x: abs(x), reverse=True)

    # 将所有负数变为正数
    for i in range(len(neg)):
        if neg[i] < 0:
            if abs(neg[i]) % 2 == 0:
                neg[i] = -neg[i]
            else:
                neg[i] = -(abs(neg[i]) + 1)

    # 计算最大乘积
    res = 1
    for x in pos + neg:
        res *= x

    return res

性能分析

时间复杂度：$O(n\log n)$，其中 $n$ 是数组的长度。对于正数部分，我们不需要进行任何操作，时间复杂度可以看做 $O(n)$。对于负数部分，我们需要对其进行排序（时间复杂度为 $O(n\log n)$），然后依次进行操作。最后，我们需要将所有元素的值相乘，时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度：$O(n)$。我们需要维护正数部分和负数部分两个数组。