将给定数组转换为Mountain数组所需的最少删除量

介绍

一个Mountain数组是指一个数组先递增后递减的数组。给定一个未排序的数组，我们可以删掉一些数字，使得剩余的数组成一个Mountain数组。本文将介绍如何求出使得给定数组变成Mountain数组所需的最少删除量。

算法

我们可以使用动态规划算法来解决这个问题。先定义一个二维数组$f(i, j)$表示让前$i$个元素变为一个以第$j$个元素为顶点的Mountain数组所需的最小删除量。那么我们要求的就是$f(n, i)$中的最小值，其中$n$是数组长度。

接下来，我们考虑$f(i, j)$和$f(i-1, k)$之间的关系。我们要使得前$i$个元素变为一个以第$j$个元素为顶点的Mountain数组，就需要先考虑前$i-1$个元素已经满足Mountain数组的条件，然后再决定是否删除第$i$个元素。所以我们可以考虑枚举上一个峰顶的位置$k$，则有以下转移方程：

$$f(i, j) = \min_{k=1}^{j-1} f(i-1, k) + (a_i > a_j)$$

其中$a$表示原数组，$a_i$表示第$i$个元素。方程的意思是，我们先假设以$k$位置为顶点的Mountain数组可以从前$i-1$个元素中得到，然后再考虑第$i$个元素是否小于主峰顶点的位置$j$，如果是，则需要删除，删除的代价为$1$。

接下来，只需要求出$f(n, i)$中的最小值就可以了。时间复杂度为$O(n^3)$，空间复杂度也是$O(n^2)$。

代码

def minDeletionSize(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    f = [[n] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for j in range(1, n + 1):
        f[0][j] = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i + 1, n + 1):
            for k in range(1, j):
                if nums[i - 1] > nums[j - 1]:
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][k] + 1)
                else:
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][k])
    return min(f[n][j] for j in range(1, n + 1))

代码中使用了Python语言和Python标准库的一个类型注释。其中，$f(i, j)$就是$f[i][j]$，$n$就是数组长度，$a$就是$nums$。