在无向图中打印所有哈密顿循环

哈密顿循环是在一条路径上经过每个顶点恰好一次后回到起点的循环。在无向图中，如果存在哈密顿循环，则称该图为哈密顿图。打印所有哈密顿循环是一项重要的任务，因为哈密顿循环的存在与很多实际问题密切相关。

算法思路

要找到无向图中所有的哈密顿循环，可以使用回溯算法。我们将起点选定为第一个顶点，从该顶点开始遍历无向图，每个遍历到的顶点都标记为已访问，直到回到起点。在回溯过程中，如果当前已经遍历到的顶点集合满足哈密顿循环的定义，则将其加入解集。

代码实现

给出以下 Python 代码实现：

from typing import List

def find_hamiltonian_cycles(graph: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
    def helper(path: List[int], visited: List[bool]):
        nonlocal cycles

        if len(path) > 1 and path[-1] == path[0]:
            cycles.append(path)
            return

        last_vertex = path[-1]

        for next_vertex, connected in enumerate(graph[last_vertex]):
            if connected and not visited[next_vertex]:
                visited[next_vertex] = True
                helper(path + [next_vertex], visited)
                visited[next_vertex] = False

    cycles = []
    visited = [False] * len(graph)

    for start_vertex in range(len(graph)):
        visited[start_vertex] = True
        helper([start_vertex], visited)
        visited[start_vertex] = False

    return cycles

该函数接受一个二维数组 graph 作为输入，该数组表示无向图的邻接矩阵。函数返回一个二维数组，其中每个子数组表示一个哈密顿循环。

算法分析

由于需要遍历无向图中的所有路径，时间复杂度为 $O(2^n)$，其中 $n$ 为顶点数。实际运行时间取决于无向图的形状和大小。在最坏情况下，算法需要遍历无向图中的所有可能路径，因此空间复杂度为 $O(n!)$。不过，由于算法使用了回溯技术，使得实际空间占用比预计要小很多。