📅  最后修改于: 2023-12-03 15:23:00.701000             🧑  作者: Mango
哈密顿路径是指一条经过图中所有顶点恰好一次的路径,顶点的经过顺序不限。哈密顿问题是NP完全问题,也是著名的旅行商问题的特例。
例如,对于以下图:
A--B
| |
C--D
它的一个哈密顿路径就是A->B->D->C
或者B->A->C->D
等。
动态规划通常是解决最优化问题的一种有效方法,而哈密顿路径问题也是一个最优化问题,因此使用动态规划可以解决这个问题。
具体来说,我们可以定义一个二维数组dp[i][j]
表示从起点到第i
个顶点,经过了j
个顶点的最短路径。可以使用状态转移方程:
dp[i][j] = min(dp[k][j-1] + dist(k, i)) (k表示从起点到i的所有可能中,经过了j-1个顶点的顶点)
最终的哈密顿路径长度就是dp[n][n-1]
,其中n
是图中顶点的数量,起点和终点都为0。
下面是一个用Python实现的解决哈密顿路径问题的动态规划算法:
def hamilton_path(graph):
n = len(graph)
dp = [[float('inf')] * n for _ in range(1 << n)]
dp[1][0] = 0
for mask in range(1, 1 << n):
for i in range(n):
if mask & (1 << i):
for j in range(n):
if i != j and mask & (1 << j):
dp[mask][i] = min(dp[mask][i], dp[mask^(1<<i)][j] + graph[j][i])
return dp[(1<<n)-1][0]
其中,graph
是一个二维数组,表示图的邻接矩阵。
该算法的时间复杂度为$O(n^2 \cdot 2^n)$,空间复杂度为$O(n \cdot 2^n)$。