重复给定数组的错位计数

简介

给定一个长度为n的数组，错位计数（Inversion Count）是指有多少个数对（i,j），满足i<j且a[i]>a[j]。通俗点说，就是数组中有多少组乱序的数字。如果数组已经按升序排列，那么错位计数为0。

计算错位计数在排序算法中非常重要，它可以衡量算法的效率。通过计算错位计数可以判断一个排序算法在某些数据情况下是否优化。同时，它也是一些数据结构的底层实现，如树状数组（BIT）和线段树（Segment Tree）。

实现

下面提供两种实现方法：暴力枚举和归并排序。

暴力枚举

暴力枚举方法最简单，也最容易理解。时间复杂度为O(n^2)。

def inversion_count(arr: List[int]) -> int:
    n = len(arr)
    count = 0
    for i in range(n - 1):
        for j in range(i + 1, n):
            if arr[i] > arr[j]:
                count += 1
    return count

归并排序

归并排序方法的时间复杂度为O(nlogn)，比暴力枚举要快得多。它对数组进行分治，不断将数组分为两半，直到每个子数组只包含一个元素。然后它将这些子数组进行合并并计算错位计数。

def merge(arr: List[int], aux: List[int], left: int, mid: int, right: int) -> int:
    i, j, k = left, mid + 1, left
    count = 0
    while i <= mid and j <= right:
        if arr[i] <= arr[j]:
            aux[k] = arr[i]
            i += 1
        else:
            aux[k] = arr[j]
            j += 1
            count += mid - i + 1
        k += 1
    while i <= mid:
        aux[k] = arr[i]
        i += 1
        k += 1
    while j <= right:
        aux[k] = arr[j]
        j += 1
        k += 1
    for p in range(left, right + 1):
        arr[p] = aux[p]
    return count

def merge_sort(arr: List[int], aux: List[int], left: int, right: int) -> int:
    if left >= right:
        return 0
    mid = (left + right) // 2
    count = merge_sort(arr, aux, left, mid) + merge_sort(arr, aux, mid + 1, right) + merge(arr, aux, left, mid, right)
    return count

def inversion_count(arr: List[int]) -> int:
    n = len(arr)
    aux = [0] * n
    return merge_sort(arr, aux, 0, n - 1)

总结

错位计数是衡量排序算法效率的重要指标之一。在算法和数据结构中有着广泛的应用，学习和掌握其实现方法对于程序员的提高和职业生涯发展具有重要作用。