统计[L, R]范围内的(2 ^ x * 3 ^ y)形式的整数计数

在计算机科学中，经常需要对一定范围内的数字进行统计。本文介绍如何统计[L, R]范围内的(2 ^ x * 3 ^ y)形式的整数数量。

解题思路

首先，我们可以用两个循环枚举x和y，然后计算(2 ^ x * 3 ^ y)是否在[L, R]范围内。

但是，显然这种方法的时间复杂度为O((R - L + 1) * logR)，当R很大时，会产生很大的性能问题。因此，我们需要更高效的方法来计算。

考虑到题目中的数字是形如(2 ^ x * 3 ^ y)的形式，我们可以将x和y都存储下来，然后对它们进行排序。这样做的好处是，我们可以用双指针的方法，对[L, R]范围内的数字进行统计。

具体来说，我们维护两个指针i和j，分别指向x和y的数组。然后，我们从L开始往后枚举每个数字，如果其等于(2 ^ x[i] * 3 ^ y[j])，则将计数器加1，并同时将i和j向后移动一位。如果小于(2 ^ x[i] * 3 ^ y[j])，则将i向后移动一位。如果大于(2 ^ x[i] * 3 ^ y[j])，则将j向后移动一位。直到i或j越界为止。

这种方法的时间复杂度为O((R - L) * logx * logy)，其中logx和logy分别表示x和y数组的长度。注意到，由于x和y数组的长度最大为log R，因此总的时间复杂度为O((R - L) * (log R) ^ 2)，可以通过本题的测试。

代码实现

def count_numbers(L: int, R: int) -> int:
    x, y = [], []
    for i in range(32):
        for j in range(20):
            if 2 ** i * 3 ** j >= L and 2 ** i * 3 ** j <= R:
                x.append(i)
                y.append(j)
    n = len(x)
    i = j = 0
    res = 0
    while i < n and j < n:
        if 2 ** x[i] * 3 ** y[j] >= L and 2 ** x[i] * 3 ** y[j] <= R:
            res += 1
            i += 1
            j += 1
        elif 2 ** x[i] * 3 ** y[j] < L:
            i += 1
        else:
            j += 1
    return res

总结

本文介绍了如何统计[L, R]范围内的(2 ^ x * 3 ^ y)形式的整数数量。首先，我们可以用两个循环枚举x和y，然后计算(2 ^ x * 3 ^ y)是否在[L, R]范围内。但是，这种方法的时间复杂度为O((R - L + 1) * logR)，当R很大时，会产生很大的性能问题。因此，我们需要更高效的方法来计算，可以用双指针的方法，在O((R - L) * (log R) ^ 2)的时间内通过本题的测试。