装配线调度| DP-34

简介

在制造业中，装配线调度是一个很重要的问题。通常在装配线上有不同类型的机器，每个机器都有不同的处理时间，同时产品的加工顺序也需要遵循一定的规则。装配线调度问题旨在找到一种调度方案，使得整个制造过程的完成时间最短。

动态规划解法

装配线调度可以用动态规划的方法解决。主要思想是把问题分成若干个子问题，并且利用之前的计算结果来计算当前问题的最优解。具体来说，在装配线调度问题中，我们可以利用 DP (Dynamic Programming) 算法以 O(n^2)的时间复杂度求解出最短的制造时间。

定义 dp1[i] 表示在第一条装配线上完成第 i 个环节所需的最短时间，dp2[i]表示在第二条装配线上完成第i个环节所需的最短时间。根据转移方程：

dp1[i] = min(dp1[i-1] + t1[i-1], dp2[i-1] + t2[i-1] + s[i]) dp2[i] = min(dp2[i-1] + t2[i-1], dp1[i-1] + t1[i-1] + s[i])

其中，t1[i-1] 和 t2[i-1] 分别表示在第一和第二条装配线上加工第 i-1 个环节的时间， s[i] 表示从第一条装配线到第二条装配线的调度时间。

最终的最短时间为：

time = min(dp1[n-1] + x1, dp2[n-1] + x2)

其中，n 表示产品加工的环节数目，x1 和 x2 分别表示从第一条装配线和第二条装配线结束后的加工时间。

代码实现

以下是 Python 代码实现：

def assembly_line_scheduling(enter_time, process_time, transfer_time, exit_time):
    n = len(enter_time)  # 环节数
    dp1 = [0] * n  # 第一条装配线的时间
    dp2 = [0] * n  # 第二条装配线的时间
    
    # 初始化
    dp1[0] = enter_time[0] + process_time[0][0]
    dp2[0] = enter_time[1] + process_time[1][0]
    
    # DP
    for i in range(1, n):
        dp1[i] = min(dp1[i-1] + process_time[0][i], 
                     dp2[i-1] + process_time[0][i] + transfer_time[1][i])
        dp2[i] = min(dp2[i-1] + process_time[1][i], 
                     dp1[i-1] + process_time[1][i] + transfer_time[0][i])
    
    # 计算最终时间
    time = min(dp1[n-1] + exit_time[0], dp2[n-1] + exit_time[1])
    
    return time

其中，enter_time, process_time, transfer_time, exit_time 是四个长度为 n 的列表，分别表示从入口开始，在第一条装配线上加工的时间、每个环节的加工时间、从第一条装配线到第二条装配线的调度时间和从第二条装配线结束到出口的时间。运行时间和空间复杂度均为 O(n)。