1 到 N 的两种不同排列中的公共子数组的计数

介绍

这个问题需要我们计算两个由1到N的数构成的排列中有多少个公共子数组。对于一个长度为N的排列，它有N(N+1)/2个子数组。因此，我们需要寻找一种高效的方法来计算这些子数组中有多少个是公共的。

解法

这个问题可以使用动态规划来解决。假设我们有两个排列P和Q，分别表示由1到N的两个不同的排列。我们定义dp[i][j]为P的前缀i和Q的前缀j中有多少个公共子数组。我们可以将dp[i][j]拆分为三种情况：

1. P[i] == Q[j]，即当前两个前缀的最后一个数相同。那么dp[i][j]应该等于dp[i-1][j-1]+1，即前缀分别减去最后一个数后的公共子数组个数再加上当前这个相同的数。
2. P[i] != Q[j]，即当前两个前缀的最后一个数不同。那么dp[i][j]应该等于0，因为以不同的数结尾的子数组不可能是公共的。
3. P[i] == Q[j]但是i<1或者j<1，即有一个前缀已经用完了。那么dp[i][j]应该等于1，因为只有一个元素时它必须是公共的。

最后，我们遍历所有dp[i][j]并将它们加起来，就可以得到答案。

这个算法的时间复杂度为O(N^2)，空间复杂度为O(N^2)。虽然它不是最优的解决方案，但是对于较小的N它足够快并且易于实现。对于更大的N，我们可以使用更高级的技术，例如快速傅里叶变换（FFT）。

代码实现

这里是使用Python实现的代码示例：

def common_subarrays(n: int, p: List[int], q: List[int]) -> int:
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    ans = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if p[i - 1] == q[j - 1]:
                if i > 1 and j > 1:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = 1
            ans += dp[i][j]
    return ans

总结

计算两个排列中的公共子数组可以使用动态规划来解决。我们利用dp[i][j]表示前缀分别为P[0..i-1]和Q[0..j-1]的公共子数组个数，最后遍历所有dp[i][j]并将它们加起来即可得到答案。该算法的时间复杂度为O(N^2)，空间复杂度为O(N^2)。