最大子序列，使得所有索引和所有值都分别是倍数

在计算机科学中，最大子序列问题是一类寻找一个连续子序列，使得这个子序列的和最大的问题。但是，本题要求找到的子序列不仅要满足和最大，还要满足所有索引和所有值都分别是倍数。

解法

由于要求子序列的索引和值都是倍数，因此我们可以考虑使用动态规划来解决这个问题。令 $dp[i]$ 表示以 $i$ 结尾的最大子序列，满足所有索引和所有值都分别是倍数。那么我们可以得到状态转移方程：

$$ dp[i] = \max{dp[j] + 1}, 0 \leq j < i, (i - j) \text{mod} ;k = 0, (a_i + a_j) \text{mod} ;k = 0 $$

其中，$k$ 为倍数的因子，$a$ 为给定数组。这个方程的意思是：对于以 $i$ 结尾的最大子序列，我们枚举其前一个数 $j$，若前一个数和当前数的和以及它们的索引和都是倍数，则可以将 $j$ 加入子序列中，并更新最大值。

现在，我们只需要从前往后遍历数组，计算每个状态的值，直到结束。最终的答案就是 $dp$ 数组中的最大值。

实现

下面给出这个算法的 Python 代码：

def max_multiple_subsequence(nums: List[int], k: int) -> int:
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(1, len(nums)):
        for j in range(i):
            if (i-j) % k == 0 and (nums[i]+nums[j]) % k == 0:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

这个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，空间复杂度是 $O(n)$。但是，由于使用了动态规划的思想，这个算法可以很容易地推广到更一般的情况。