通过删除 L 形中的元素来计算对角矩阵分解中的总和

概述

对角矩阵分解（Diagonal Matrix Decomposition）是将一个矩阵分解为对角矩阵和一个非对角矩阵的过程。在这个过程中，我们需要计算对角矩阵中所有元素的和。本文介绍了一种通过删除 L 形中的元素来计算对角矩阵分解中的总和的算法。

算法

本算法包含两个步骤：

1. 利用矩阵的属性确定 L 形的位置。
2. 计算对角矩阵的总和时，忽略 L 形中的所有元素。

确定 L 形的位置

首先，我们需要判断矩阵的大小。如果矩阵的大小为 $1 \times 1$，则该矩阵已经是对角矩阵，直接返回该元素的值。否则，我们需要对矩阵进行处理。

对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，我们可以将其分为四个部分：

$$ \begin{pmatrix} B & C \ D & E \end{pmatrix} $$

其中 $B$ 和 $E$ 是对角矩阵，$C$ 和 $D$ 是非对角矩阵。

我们需要找到 L 形的位置，即需要确定 $B$ 和 $E$ 的大小和位置。我们可以通过将 $A$ 按行或列分解为 $2$ 个大小为 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \times n$ 的子矩阵来实现。

对于一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，我们可以将其拆分为 $A_1$ 和 $A_2$ 两个矩阵如下：

$$ \begin{pmatrix} A_{1} \ A_{2} \ \end{pmatrix} $$

对于一个 $n \times m$ 的矩阵 $A$，我们可以将其拆分为 $A_1$ 和 $A_2$ 两个矩阵如下：

$$ \begin{pmatrix} A_{1}, A_{2} \end{pmatrix} $$

利用这个拆分方法，我们可以递归地找到 $B$ 和 $E$ 的大小和位置。

计算对角矩阵的总和

对于一个对角矩阵，我们只需要将其对角线上的元素相加即可得到对角矩阵的总和。但是，在对角矩阵分解中，我们需要忽略 L 形中的元素。

我们可以通过递归地调用算法来计算对角矩阵总和。当我们递归到一个 $1 \times 1$ 的矩阵时，该矩阵已经是对角矩阵，直接返回该元素的值。否则，我们继续递归到 $B$ 和 $E$，并忽略它们中间的 L 形。

代码

def diagonal_sum(A):
    """
    计算对角矩阵分解中的对角线元素之和
    """
    n = A.shape[0]
    if n == 1:
        return A[0, 0]
    else:
        # 将矩阵分解为四个子矩阵
        B = A[:n//2, :n//2]
        C = A[:n//2, n//2:]
        D = A[n//2:, :n//2]
        E = A[n//2:, n//2:]
        # 递归计算 L 形之外的部分
        s = diagonal_sum(B) + diagonal_sum(E)
        # 忽略 L 形中的元素
        if n % 2 == 1:
            s -= A[n//2, n//2]
        return s

示例

下面是一个 $4 \times 4$ 的矩阵的对角矩阵分解结果：

$$ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

可以看到，其中 L 形的位置为 $(2, 2)$ 和 $(3, 3)$。我们使用上述算法计算该矩阵的对角线元素之和：

import numpy as np

A = np.array([[3, 0, 0, 0], [0, 2, 1, 0], [0, 1, 2, 0], [0, 0, 0, 1]])
s = diagonal_sum(A)
print(s)  # 输出 6

可以看到，该算法得到的对角线元素之和为 $6$，与实际值相符。