非对角数

在数学中，对角数是满足以下形式的整数序列：$1, n+1, 2n+2, 3n+3, ...$。其中$n$是任意正整数。

非对角数自然就是不属于对角数的整数。也就是说，非对角数是不能用上述公式表示的整数。

如何判断一个数是否为对角数

判断一个数是否为对角数的方法通常是使用二次方程求解。对于数列$1, n+1, 2n+2, 3n+3, ...$，设其第$n$项为$x_n$，则可以列出以下方程：

$x_n = an + b$

$x_{n+1} = a(n+1) +b$

由于$x_{n+1} = x_n + n + 1$，将其代入方程得：

$an + b + n +1 = a(n+1) + b$

化简后可得：

$a = n+1$

$b = \frac{n(n+1)}{2}$

因此，对于任意正整数$k$，若存在整数$m$，满足方程$x_m = \frac{1}{2}k(k+1)$，则$k$为对角数。

代码实现

以下是用Python实现判断非对角数的函数：

def is_not_diagonal(n):
    for i in range(1, int(n**0.5) + 1):
        if i*(i+1) == n:
            return False
    return True

该函数的原理为，循环遍历每一个小于等于$n$的正整数$i$，若存在$i(i+1)=n$，则返回False，表示$n$是对角数；否则返回True，表示$n$是非对角数。

应用

非对角数在数学和程序设计中都有着广泛的应用。在加密算法中，常用非对角数作为RSA密码系统的模数；在图论中，非对角数被广泛用于邻接矩阵的存储和快速遍历。