数据结构 | 平衡二叉搜索树 | 问题2

简介

平衡二叉搜索树（Balanced Binary Search Tree）是一种数据结构，它被用来存储需要进行查找的数据。在平衡二叉搜索树中，每个节点最多有两个子节点，左子树中的所有节点的键都小于该节点的键，右子树中的所有节点的键都大于该节点的键，并且左右子树的高度相差不超过1。这个平衡条件保证了树的查找性能非常好。

问题2是一个经典的问题，它要求把两个平衡二叉搜索树合并成一个平衡二叉搜索树，并且要保证合并后的树也是平衡的。

解决方案

为了解决问题2，我们可以使用另外一个数据结构：平衡树（Balanced Tree）。平衡树是一种自平衡的二叉查找树，它能够保持任意时刻树的左右子树的高度差在一定范围内，从而保证了树的查找性能。常见的平衡树有AVL树、红黑树、Treap等。

为了合并两个平衡二叉搜索树，我们可以把它们分别转化成两个平衡树，然后把它们合并成一个新的平衡树。具体的步骤如下：

1. 将两个平衡二叉搜索树分别转化成两个平衡树。
2. 将两个平衡树按照二叉搜索树的合并方式合并成一个新的平衡树。

下面是一个示例代码，它演示了如何合并两个平衡二叉搜索树。本示例代码使用红黑树作为平衡树。

class RBTree:
    def __init__(self, key=None):
        self.left = None
        self.right = None
        self.parent = None
        self.key = key
        self.color = "b"

def rb_insert(T, z):
    y = None
    x = T
    while x != None:
        y = x
        if z.key < x.key:
            x = x.left
        else:
            x = x.right
    z.parent = y
    if y == None:
        T = z
    elif z.key < y.key:
        y.left = z
    else:
        y.right = z
    z.left = None
    z.right = None
    z.color = "r"
    rb_insert_fixup(T, z)

def rb_insert_fixup(T, z):
    while z.parent != None and z.parent.color == "r":
        if z.parent == z.parent.parent.left:
            y = z.parent.parent.right
            if y != None and y.color == "r":
                z.parent.color = "b"
                y.color = "b"
                z.parent.parent.color = "r"
                z = z.parent.parent
            else:
                if z == z.parent.right:
                    z = z.parent
                    left_rotate(T, z)
                z.parent.color = "b"
                z.parent.parent.color = "r"
                right_rotate(T, z.parent.parent)
        else:
            y = z.parent.parent.left
            if y != None and y.color == "r":
                z.parent.color = "b"
                y.color = "b"
                z.parent.parent.color = "r"
                z = z.parent.parent
            else:
                if z == z.parent.left:
                    z = z.parent
                    right_rotate(T, z)
                z.parent.color = "b"
                z.parent.parent.color = "r"
                left_rotate(T, z.parent.parent)
    T.color = "b"

def left_rotate(T, x):
    y = x.right
    x.right = y.left
    if y.left != None:
        y.left.parent = x
    y.parent = x.parent
    if x.parent == None:
        T = y
    elif x == x.parent.left:
        x.parent.left = y
    else:
        x.parent.right = y
    y.left = x
    x.parent = y

def right_rotate(T, x):
    y = x.left
    x.left = y.right
    if y.right != None:
        y.right.parent = x
    y.parent = x.parent
    if x.parent == None:
        T = y
    elif x == x.parent.right:
        x.parent.right = y
    else:
        x.parent.left = y
    y.right = x
    x.parent = y

def inorder_tree_walk(x):
    if x != None:
        inorder_tree_walk(x.left)
        print(x.key)
        inorder_tree_walk(x.right)

def merge_trees(T1, T2):
    # 将T1、T2转化成平衡树
    T1 = rb_insert(T1, T1.root)
    T2 = rb_insert(T2, T2.root)

    # T1、T2合并成一个新的平衡树
    T = RBTree()
    T.root = T1.root
    rb_insert(T, T2.root)

    return T

本示例代码中，merge_trees函数接受两个平衡二叉搜索树T1和T2作为输入，返回一个合并后的平衡树T。在这个函数中，首先将T1和T2分别转化成两个平衡树，然后将它们合并成一个新的平衡树T，最后返回T。在合并的过程中，我们需要按照二叉搜索树的合并方式对T1和T2进行合并。具体的实现在代码中有详细的注释。

总结

问题2是一个经典的问题，它要求把两个平衡二叉搜索树合并成一个平衡二叉搜索树，并且要保证合并后的树也是平衡的。为了解决这个问题，我们可以使用平衡树来辅助实现。具体的方法是将两个平衡二叉搜索树分别转化成两个平衡树，然后将它们合并成一个新的平衡树。在实现的过程中，我们可以使用AVL树、红黑树、Treap等常见的平衡树。