门| GATE-CS-2005 |问题3

这是GATE-CS-2005的考试题之三。我们将在本文中展示如何解决该问题，其中包含必要的代码实现和解释。

问题描述

给出一个长度为 n（偶数）的整数序列 a1，a2，...，an，其中每个元素均为 0 或 1。你可以进行如下操作：

• 选择一个下标 i（1 ≤ i < n）。
• 交换 ai 和 ai+1 两个元素。

你希望用尽可能少的操作，将该序列变为一个所有 0 都在序列的前半部分，所有 1 都在序列的后半部分的序列。计算出所需的最小操作数。

解决方案

本问题可以使用贪心算法来解决。

考虑将所有的 0 移动到左侧所有的 1 移动到右侧，具体步骤如下：

1. 从左到右遍历序列，记录当前所有 0 的个数（设为 cnt0）和 1 的个数（设为 cnt1）。
2. 记录当前各自的错误位置数（即，0 在右半边的个数和 1 在左半边的个数），设为 cnt10 和 cnt01。
3. 找到当前左侧未处理序列中第一个 1 的位置 j，将其与 j-1 处的 0 交换一次位置，cnt1 和 cnt0 各自减 1，cnt10 和 cnt01 各自加 1。
4. 重复步骤 3 直到不存在 j 使得 1 在 j 的左侧且 0 在 j 的右侧。
5. 最终所需的操作数为 cnt10 或 cnt01 中的最大值。

为了更清晰地了解上述过程，下面是伪代码实现：

cnt0 = 0
cnt1 = 0
cnt01 = 0
cnt10 = 0

for i in range(n):
    if a[i] == 0:
        cnt0 += 1
    else:
        cnt1 += 1
    cnt01 += cnt1 if a[i] == 0 else 0
    cnt10 += cnt0 if a[i] == 1 else 0

while cnt01 > 0 and cnt10 > 0:
    j = 0
    while a[j] == 0:
        j += 1
    a[j-1], a[j] = a[j], a[j-1]
    cnt01 -= 1
    cnt10 -= 1

print( max(cnt01, cnt10) )

结论

该算法的时间复杂度为 O(n)。因此，我们可以在合理的时间内解决问题，即使在较大的输入量情况下。

参考资料

• GATE-CS-2005-Question-3