门| GATE-CS-2005 |问题6

这是一道来自GATE-CS-2005的问题，考察了程序员的数据结构和算法能力。

题目描述

给定一个有向图G=(V,E)，其中每个边都具有一个正整数权值。如下图所示：

A---(1)--->B
^         / |
|        /  |
(3)     /   |(4)
|     /   (2)|
v   /       v
C<---(5)---D

箭头表示有向边，括号中的数字表示边的权值。例如，(1)表示从A到B的边的权值为1。

同时，给定两个节点s和t，试求出从s到t的所有路径中，权值最大的路径的长度。如果从s无法到达t，则输出-1。

解题思路

这道问题可以使用Dijkstra算法来解决。Dijkstra算法可以求解从起点到某个顶点的最短路径，但它同样适用于求解最长路径。

我们可以对Dijkstra算法进行稍微的修改，让它计算最长路径。

具体来说，我们需要使用一个数组maxdist[i]来记录从起点s到顶点i的最长路径长度。初始时，maxdist[s] = 0，其它maxdist[i] = -1。

我们还需要使用一个堆来存储候选顶点集合。初始时，把起点s加入堆。然后，重复执行以下步骤：

1. 从堆的根节点中取出最小的候选顶点v，将其加入最短路径集合。
2. 遍历从v出发的每一条出边(v, w)，如果maxdist[w] < maxdist[v] + weight(v,w)，则更新maxdist[w]的值为maxdist[v] + weight(v,w)。同时，如果w不在堆中，则将它加入堆中。

重复执行以上步骤，直到堆为空或者堆中的顶点都已加入最短路径集合中。

最后，maxdist[t]的值即为从s到t的最长路径长度。如果maxdist[t]仍为-1，则说明从s无法到达t。

代码实现

以下是使用Python语言实现以上算法的程序代码，其中graph是邻接表表示的有向图，source和target是起点和终点的编号。

import heapq

def dijkstra_longest_path(graph, source, target):
    maxdist = [-1] * len(graph)
    maxdist[source] = 0
    heap = [(0, source)]
    visited = set()
    
    while heap:
        (dist, vertex) = heapq.heappop(heap)
        if vertex in visited:
            continue
        visited.add(vertex)
        for neighbor, weight in graph[vertex].items():
            if maxdist[neighbor] < maxdist[vertex] + weight:
                maxdist[neighbor] = maxdist[vertex] + weight
                heapq.heappush(heap, (-maxdist[neighbor], neighbor))
    
    return maxdist[target]

总结

这道题考察了程序员的数据结构和算法能力。使用Dijkstra算法来计算有向图中最长路径的基本思路是相似的，唯一的不同是在更新maxdist[i]的时候需要使用“大于”号代替“小于”号。