最大派系问题 | 递归解决方案

简介

最大派系问题是图论中一个经典问题，其目的是在一个无向图中找到一个子集，使得该子集中的所有节点相互连接，并且该子集中的节点数量最大。该问题通常应用于社交网络中发现一个社群。

递归解决方案

定义

在递归解决方案中，我们定义一个函数 solve 来找到最大派系。 solve 函数的输入参数为图的邻接矩阵 graph，其中 graph[i][j] 表示节点 i 和节点 j 是否有边相连。

算法

递归解决方案的算法如下：

1. 如果图的大小为 1，那么最大派系就是这个点本身。
2. 如果图的大小为 2，那么如果这两个点相互连接，则最大派系为这两个点，否则最大派系为任意一个点。
3. 如果图的大小大于 2，那么我们首先找到一个点 u，使得 u 与图中其他点的度数最大。接着，我们递归地寻找不包括 u 的最大派系 R1 和包括 u 的最大派系 R2。如果 R1 的大小大于等于 R2 的大小加上 1，则返回 R1，否则返回 R2。

代码实现

def solve(graph):
    n = len(graph)
    if n == 1:
        return set([0])
    elif n == 2:
        if graph[0][1] == 1:
            return set([0, 1])
        else:
            return set([0])
    else:
        u = max(range(n), key=lambda i: sum(graph[i]))
        R1 = solve([graph[i][:u] + graph[i][u+1:] for i in range(n) if i != u])
        R2 = solve([graph[i][:u] + graph[i][u+1:] for i in range(n)])
        if len(R1) >= len(R2) + 1:
            return R1
        else:
            return set([u] + list(R2))

时间复杂度

递归解决方案的时间复杂度为 $O(n^22^n)$。该解法的缺点是无法处理大型的图，因为该算法会生成大量的子集。如果需要处理大型的图，我们需要使用其他的算法，例如 Bron–Kerbosch 算法。