最大独立集问题 | DP-26

最大独立集问题（MIS）是在一个图中找到一个最大的独立顶点集合的问题。独立顶点集合是指任意两个顶点在图中都没有连接的顶点集合。这是一个NP完全问题，尚未找到有效的解决方案，而唯一的方法是使用指数时间的朴素算法。

在本篇文章中，我们将讨论如何使用动态规划解决最大独立集问题。我们还将介绍如何使用DFS和位运算解决该问题。

动态规划

动态规划是一种适用于优化问题的算法。它通过将问题分解成子问题并使用以前计算的结果来构建递归解决方案。与朴素算法相比，它具有更快的执行速度，并且不需要调用以前计算的函数。

下面是解决最大独立集问题的动态规划算法：

1. 用 $C [i] $表示子图G ‘，以i为根的i的最大独立集大小。

2. 如果v是 i的儿子，则我们必须在计算$C[i]$时考虑$C[v]$和$C[u]$的和，其中u是i的孙子并且i 和 u 之间没有边。

3. 如果 v 不是 i 的儿子，则只需要将相邻的儿子的$C$加起来即可。

   maximalIndependentSet(graph, i):
    if( C[i] != NULL ): 
        return C[i]
    size_excluding_i = 0
    for j in adjacent vertices to i:
        size_excluding_i += maximalIndependentSet(j)
    size_including_i = 1
    for k in grandchildren of i:
        size_including_i += maximalIndependentSet(k)
    size_excluding_i = max(size_excluding_i, size_including_i)
    C[i] = size_excluding_i
    return C[i]
   

DFS

深度优先搜索（DFS）是解决最大独立集问题的另一种方法。我们可以通过遍历图来找到独立的点集合。在DFS期间，我们将所有可行的解储存在一个数组中，然后从中选择最大的。使用DFS方法解决MIS问题的时间复杂度是指数级的，但我们可以通过对算法进行优化来减少执行时间。

下面是利用DFS找到最大独立集的算法：

maximalIndependentSetDFS(graph, size, index, visited, dp):
    if(index == size):
        return 0
    if(dp[index] != -1):
        return dp[index]
    skip = maximalIndependentSetDFS(graph, size, index+1, visited, dp)
    take = 1
    for i in graph[index]:
        if visited[i]:
            take = 0
            break
    if take == 1:
        visited[index] = True
        for i in graph[index]:
            visited[i] = True
        ans = 1 + maximalIndependentSetDFS(graph, size, index+1, visited, dp)    
        visited[index] = False
        for i in graph[index]:
            visited[i] = False
    else:
        ans = skip
    dp[index] = max(skip, ans)
    return dp[index]

位运算

位运算是一个非常通用的编程技巧，可以在许多情况下使用。在解决最大独立集问题时，我们可以使用二进制位表示每个可能的点集合，并使用位运算来解决问题。

下面是使用位运算解决MIS问题的算法：

public static int maximalIndependentSet(int[][] graph)
{
    int n = graph.length;
    int ans = 0;
    for(int i=0;i<(1<<n);i++){
        boolean flag = true;
        for(int j=0;j<n;j++){
            if((i&(1<<j))!=0){
                for(int k=0;k<n;k++){
                    if(((i&(1<<k))!=0) && graph[j][k] == 1 && j!=k){
                        flag = false;
                        break;
                    }
                }
                if(!flag) break;   
            }
        }
        if(flag){
            int cnt = 0;
            for(int j=0;j<n;j++){
                if((i&(1<<j))!=0) cnt++;    
            }
            ans = Math.max(ans, cnt);
        }
    } 
    return ans;
}

综上所述，最大独立集问题是一个非常有趣而富有挑战性的问题。我们可以使用动态规划、DFS和位运算来解决该问题。算法的运行效率由数据集的规模和领域知识的应用程度决定。