计算数组中的反转|第3组(使用BIT)

BIT(Bit Indexed Tree)又叫树状数组，它是一种查询和修改复杂度均为$O(logn)$的数据结构。它使用一棵树状结构来维护数组中的值和前缀和等信息。本篇文章将使用BIT来实现计算数组中的反转功能。

问题描述

给定一个长度为N的数组A，其中A[i]表示第i个位置上的数值。定义一次操作为将数组中一个区间反转，即将A[l:r]翻转为A[r:l]。求进行若干次操作后，数组A的最终形态。

解决方法

树状数组(Bit Indexed Tree)

树状数组使用了一个重要的技巧，即将数组中的位置作为树节点的索引，从而将数组的信息包含在该树中。树状数组有多种应用，其中包括求区间和，求逆序对等问题。

下面是树状数组的示意图：

树状数组的关键在于维护前缀和和区间和。如下代码创建了一个n+1大小的数组bit，其中bit[i]表示从前往后第i个元素的前缀和，即从1到i的和值。树状数组操作主要有两个函数：update()和query()。update()函数用于修改某一位的值，query()函数用于查询区间和，均为$O(logn)$时间复杂度。

int bit[MAX_N];

void update(int i, int x) {
    while (i <= n) {
        bit[i] += x;
        i += i & -i;
    }
}

int query(int i) {
    int sum = 0;
    while (i > 0) {
        sum += bit[i];
        i -= i & -i;
    }
    return sum;
}

使用树状数组计算数组中的反转

对于这道题，我们可以使用树状数组求区间翻转的效果。设L为区间翻转左端点，R为区间翻转右端点，x为反转前L左边的总数，y为反转前R右边的总数，那么反转后L左边的总数为y，反转后R右边的总数为x，中间的数不变。借助树状数组的区间修改和单点查询操作，我们可以在$O(NlogN)$的时间内求出最终形态。

代码实现如下：

#include <iostream>

using namespace std;

const int MAX_N = 1000005;

int n, m;
int a[MAX_N];
int bit[MAX_N];

void update(int i, int x) {
    while (i <= n) {
        bit[i] += x;
        i += i & -i;
    }
}

int query(int i) {
    int sum = 0;
    while (i > 0) {
        sum += bit[i];
        i -= i & -i;
    }
    return sum;
}

int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        update(i, a[i] - a[i - 1]);
    }

    while (m--) {
        int op, l, r;
        cin >> op >> l >> r;
        if (op == 1) {
            int x = query(l);
            int y = query(r);
            update(l, y - x);
            update(r + 1, x - y);
        } else {
            int ans = query(r) - query(l - 1);
            if (l % 2 == 0) ans = -ans;
            cout << ans << endl;
        }
    }

    return 0;
}

总结

树状数组是一个十分有用的数据结构，在解决多种算法问题时都会用到。本文通过实现计算数组中的反转来介绍了树状数组的使用方法，希望对学习数据结构和算法的同学有所帮助。