计算给定数组中大小为k的反转

什么是反转

在数组中，如果有两个元素a和b，它们的下标分别是i和j，并且i < j，如果a > b，那么这就是一次反转。例如，在以下数组中，有4次反转：(7, 1), (7, 4), (7, 6)和(4, 1)。

[7, 4, 1, 6]

为什么要计算反转

计算反转对于很多问题都是非常有帮助的，例如：

• 排序算法（如归并排序，快速排序）中需要计算反转
• 逆转链表中需要计算反转
• 数组中的逆序对问题需要计算反转

如何计算反转

一种简单的方法是使用两个嵌套循环，分别遍历数组中的元素，并在内部循环中比较它们的大小。这个算法的时间复杂度是O(n^2)，不太适合处理大规模的数据。下面是Python代码片段：

def count_reverses(array, k):
    n = len(array)
    count = 0
    for i in range(n - k + 1):
        for j in range(i + 1, i + k):
            if (array[i] > array[j]):
                count += 1
    return count

更有效的方法是使用归并排序的思想。在对数组进行归并排序的过程中，我们可以计算出左右两个子数组之间的反转次数。这个算法的时间复杂度是O(nlogn)，比上面的算法更快。

以下是Python代码片段：

def merge(array, temp, left, mid, right):
    i = left
    j = mid + 1
    k = left
    count = 0
    while (i <= mid and j <= right):
        if (array[i] <= array[j]):
            temp[k] = array[i]
            i += 1
        else:
            temp[k] = array[j]
            j += 1
            count += mid - i + 1
        k += 1
    while (i <= mid):
        temp[k] = array[i]
        i += 1
        k += 1
    while (j <= right):
        temp[k] = array[j]
        j += 1
        k += 1
    for i in range(left, right + 1):
        array[i] = temp[i]
    return count

def merge_sort(array, temp, left, right):
    count = 0
    if (left < right):
        mid = (left + right) // 2
        count += merge_sort(array, temp, left, mid)
        count += merge_sort(array, temp, mid + 1, right)
        count += merge(array, temp, left, mid, right)
    return count

def count_reverses(array, k):
    n = len(array)
    temp = [0] * n
    count = 0
    for i in range(0, n - k + 1, k):
        count += merge_sort(array, temp, i, i + k - 1)
    return count

在上面的代码中，我们首先定义了两个函数：merge和merge_sort。merge函数用于将两个已排序的子数组合并为一个新的已排序的子数组，并计算出左右子数组之间的反转数量。merge_sort函数用于对整个数组进行归并排序，并返回反转数量。

count_reverses函数则使用循环遍历数组中所有大小为k的子数组，并对每个子数组调用merge_sort函数，最后将所有的反转数量相加得到总的反转数量。

总结

计算给定数组中大小为k的反转，不仅在排序等问题中有实际应用，同时也是一道经典的算法问题。在本文中，我们介绍了两种不同的方法来计算反转，其中一种使用了归并排序的思想。无论是哪种方法，都可以用来计算数组中大小为k的反转。