最大化连续长度的绳索

本篇文章介绍一种通过连接给定的绳索，最大限度地增加连续长度的绳索的算法。具体来说，我们输入一些绳索，需要把它们连接起来，使得最终得到的绳索长度最大。

问题描述

给定 $n$ 条绳索 $s_1, s_2, \ldots, s_n$，每条绳索的长度为 $len_i$ 。您需要将它们连接起来，使得得到的新绳索的长度最大。

算法思路

假设有两个长度分别为 $a$ 和 $b$ 的绳索 $S1$ 和 $S2$，我们将它们连接起来后得到的绳索长度是 $a+b$。如果我们将它们拆开并再次连接，得到的绳索长度是 $a+b+a+b=2(a+b)$。也就是说，如果我们能够把长度较短的两个绳索连接起来，能够得到更大的绳索长度。

因此，我们可以运用贪心算法的思想，每次从绳索数组中选取两个长度最短的绳索进行连接，直到只剩下一个绳索为止。具体来说，我们可以使用最小堆来维护绳索数组，每次从堆顶取出两个长度最短的绳索进行连接，将得到的绳索长度加入堆中，直至堆中只剩下一个元素为止。

代码实现

C++ 实现：

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

int main() {
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> ropes;
    int n, len;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> len;
        ropes.push(len);
    }
    int res = 0;
    while (ropes.size() > 1) {
        int a = ropes.top();
        ropes.pop();
        int b = ropes.top();
        ropes.pop();
        res += a + b;
        ropes.push(a + b);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

Python 实现：

import heapq

n = int(input())
ropes = []
for i in range(n):
    ropes.append(int(input()))
heapq.heapify(ropes)
res = 0
while len(ropes) > 1:
    a = heapq.heappop(ropes)
    b = heapq.heappop(ropes)
    res += a + b
    heapq.heappush(ropes, a + b)
print(res)

时间复杂度

本算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，其中 $n$ 表示绳索的数量。理由如下：

• 入堆操作、出堆操作和堆顶访问操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$；
• 一共需要进行 $n-1$ 次合并操作。

因此，总时间复杂度为 $O(n \log n)$。

空间复杂度

本算法使用了一个大小为 $n$ 的堆来存储绳索，因此空间复杂度为 $O(n)$。

参考资料

• 算法基础课 (第二版)：数据结构、算法与高质量代码（刘汝佳著，清华大学出版社，2013 年）