计算总和大于给定数字 S 的所有平方子矩阵

简介

本算法用于计算一个二维数组中，所有元素均为正整数的平方子矩阵中，元素和大于给定数字 S 的数量。该算法可以应用于图像处理、数据分析和机器学习等领域中。

算法思路

该算法的核心思想是基于动态规划。我们先用一个二维的数组 prefix_sum 记录原数组中，每个元素的右下角的所有元素的和。

然后我们枚举每个平方子矩阵的左上角位置，设它的坐标为 (i, j)，那么平方子矩阵的边长为 $k$。通过 prefix_sum 数组，我们就可以 O(1) 地计算该子矩阵所有元素的和：

$$ \sum_{p=i}^{i+k-1} \sum_{q=j}^{j+k-1} matrix[p][q] = prefix_sum[i+k-1][j+k-1] - prefix_sum[i-1][j+k-1] - prefix_sum[i+k-1][j-1] + prefix_sum[i-1][j-1] $$

如果该子矩阵元素和大于等于 S，那么我们就找到了一个满足条件的平方子矩阵。

时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 为矩阵的边长。

代码示例

def count_square_submatrices(matrix: List[List[int]], s: int) -> int:
    n = len(matrix)
    prefix_sum = [[0] * n for _ in range(n)]

    # 初始化 prefix_sum 数组
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i == 0 and j == 0:
                prefix_sum[i][j] = matrix[i][j]
            elif i == 0:
                prefix_sum[i][j] = prefix_sum[i][j-1] + matrix[i][j]
            elif j == 0:
                prefix_sum[i][j] = prefix_sum[i-1][j] + matrix[i][j]
            else:
                prefix_sum[i][j] = prefix_sum[i-1][j] + prefix_sum[i][j-1] - prefix_sum[i-1][j-1] + matrix[i][j]

    ans = 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            k = 0
            # 枚举所有可能的平方子矩阵
            while i+k < n and j+k < n:
                cur_sum = prefix_sum[i+k][j+k]
                if i > 0:
                    cur_sum -= prefix_sum[i-1][j+k]
                if j > 0:
                    cur_sum -= prefix_sum[i+k][j-1]
                if i > 0 and j > 0:
                    cur_sum += prefix_sum[i-1][j-1]
                if cur_sum >= s:
                    ans += 1
                k += 1

    return ans

总结

本算法的时间复杂度较高，在处理大规模数据时可能会出现性能问题。但是如果数据规模较小，该算法可以提供较为精确的计算结果，并具有一定的实用性。