给定矩阵的所有子矩阵的总和

问题描述

给定一个矩阵，计算其中所有子矩阵的值的总和。子矩阵是指从原始矩阵中任选一些行和一些列构成的矩阵。

举个例子，对于一个 $2 \times 2$ 的矩阵：

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} $$

它的所有子矩阵（共 $10$ 个）和对应的值如下：

| 子矩阵 | 值 | | :----: | :-: | | $\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$ | $1$ | | $\begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}$ | $2$ | | $\begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}$ | $3$ | | $\begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix}$ | $4$ | | $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ | $10$ | | $\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$ | $3$ | | $\begin{bmatrix} 1 \ 3 \end{bmatrix}$ | $4$ | | $\begin{bmatrix} 2 & 4 \end{bmatrix}$ | $6$ | | $\begin{bmatrix} 2 \ 4 \end{bmatrix}$ | $5$ | | $\begin{bmatrix} \quad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \enspace \end{bmatrix}$ | $0$ |

所以，矩阵的所有子矩阵的总和为 $1 + 2 + 3 + 4 + 10 + 3 + 4 + 6 + 5 + 0 = 38$。

解法

暴力法

最朴素的方法是枚举所有的子矩阵，在计算值的总和。具体地，我们分别枚举所有的左上角 $(i, j)$ 和右下角 $(k, l)$，然后计算以它们为左上角和右下角的子矩阵的值。这样的时间复杂度是 $\mathcal{O}(n^6)$，无法通过本题。

简化版暴力法

我们可以稍微改进一下暴力法，使得时间复杂度降到 $\mathcal{O}(n^5)$。具体地，我们枚举所有的左上角 $(i, j)$，然后枚举所有的右下角 $(k, l)$，计算以它们为左上角和右下角的矩阵的值。为了利用前面已经计算过的结果，我们可以在计算右下角为 $(k, l)$ 的子矩阵时，利用右下角为 $(k-1, l)$ 的子矩阵的值，从而避免重复计算。这样的时间复杂度是 $\mathcal{O}(n^5)$，一般情况下能够通过本题。

def submatrix_sum(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    ans = 0
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            for k in range(i, n):
                for l in range(j, m):
                    s = 0
                    for x in range(i, k + 1):
                        for y in range(j, l + 1):
                            s += matrix[x][y]
                    ans += s
    return ans

优化版暴力法

利用前缀和可以进一步优化暴力法。具体地，我们可以先计算出前缀和矩阵 $P$，其中 $P_{i,j}$ 表示以 $(1,1)$ 为左上角，$(i,j)$ 为右下角的子矩阵的值。然后，我们可以在 $\mathcal{O}(1)$ 的时间内计算出以任意一个点为左上角，以 $(k,l)$ 为右下角的子矩阵的值。对于一个以 $(i,j)$ 为左上角，以 $(k,l)$ 为右下角的子矩阵，其值为：

$$ \begin{aligned} P_{k,l} - P_{i - 1,l} - P_{k,j - 1} + P_{i - 1, j - 1} \end{aligned} $$

这个式子的核心是容斥原理。图示如下：

$$ \begin{bmatrix} P_{i - 1,j - 1} & P_{i - 1,l} \ P_{k, j - 1} & P_{k,l} \end{bmatrix} $$

图中的绿色部分表示左上角为 $(1,1)$，右下角为 $(k,l)$ 的子矩阵。需要注意的是，在计算 $P$ 矩阵时，为了避免边界条件的特判，在第 $0$ 行和第 $0$ 列额外计算了一行和一列，因此在计算 $P_{i,j}$ 时，需要注意 $i = 0$ 和 $j = 0$ 的情况。

利用前缀和，我们可以在 $\mathcal{O}(n^4)$ 的时间复杂度内解决本题。

def submatrix_sum(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    p = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            p[i][j] = p[i - 1][j] + p[i][j - 1] - p[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1]
    ans = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            for k in range(i, n + 1):
                for l in range(j, m + 1):
                    ans += p[k][l] - p[i - 1][l] - p[k][j - 1] + p[i - 1][j - 1]
    return ans

总结

本题是一道比较经典的矩阵算法题目，可以借此练习暴力枚举和前缀和技巧。实际上，在很多实际场景中，我们也常常遇到类似的矩阵问题，因此掌握这个问题的解法也有一定的实际意义。