给定矩阵的所有子矩阵的总和

本文介绍如何计算一个给定矩阵的所有子矩阵的元素总和。

问题描述

给定一个 $m \times n$ 的矩阵 $M$，请计算 $M$ 中所有子矩阵元素的总和。其中，子矩阵可以是 $M$ 中的任意一个子集，即包含一些行和一些列的矩阵。

解决方案

一个笨拙的想法是直接枚举所有可能的子矩阵，依次累加它们的元素和。然而，这个方法的时间复杂度是 $O(2^{m \times n})$，显然是不能接受的。

一个更好的方法是使用动态规划技术。具体来说，我们可以定义一个矩阵 $S$，其中 $S_{i,j}$ 是以 $(i,j)$ 为右下角顶点的所有子矩阵的元素总和。然后，我们可以使用以下递归式来计算 $S$ 的所有元素：

$$ S_{i,j} = M_{i,j} + S_{i-1,j} + S_{i,j-1} - S_{i-1,j-1} $$

上述递归式的含义是，以 $(i,j)$ 为右下角顶点的所有子矩阵的元素总和等于：

• 以 $(i-1,j)$ 为右下角顶点的所有子矩阵的元素总和；
• 以 $(i,j-1)$ 为右下角顶点的所有子矩阵的元素总和；
• 以 $(i-1,j-1)$ 为右下角顶点的所有子矩阵的元素总和；
• $(i,j)$ 自己的元素值。

当递归完成后，$S_{i,j}$ 就是以 $(i,j)$ 为右下角顶点的所有子矩阵的元素总和。因此，我们只需要把 $S$ 中的所有元素加起来就是答案。

代码实现如下（假设 $M$ 存储在一个二维列表中）：

def submatrix_sum(M: List[List[int]]) -> int:
    m, n = len(M), len(M[0])
    S = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            S[i][j] = M[i-1][j-1] + S[i-1][j] + S[i][j-1] - S[i-1][j-1]
    return sum(sum(row) for row in S)

总结

本文介绍了如何计算一个给定矩阵的所有子矩阵的元素总和。我们使用动态规划技术，通过构建一个辅助矩阵 $S$ 来递推地计算所有子矩阵的元素和。这个方法的时间复杂度是 $O(mn)$，可以在合理的时间内处理大规模的矩阵。