计算二叉树中各个节点的级别

在二叉树中，每个节点都有一个特定的级别（深度），表示该节点在树中所处的层数。本文将介绍如何通过不同位置设置位的节点值来计算二叉树中各个节点的级别。

问题描述

给定一颗二叉树，其中每个节点都有一个值，这些值是由在不同位置上设置位得到的。例如，如果节点值为 1101，则该节点对应的子树中包含第1、2、4个节点，不包含第3个节点。

现在需要计算二叉树中每个节点的级别，即节点所处的层数（根节点层数为1）。例如，下面的二叉树中，节点1的级别为1，节点2、3的级别为2，节点4、5、6的级别为3。

           1
         /   \
        2     3
       / \  
      4   5
         / \
        6   7

解决方案

要计算二叉树中每个节点的级别，可以采用深度优先搜索的方法遍历整棵树，同时记录当前节点的级别。具体来说，设当前节点为 $n$，父节点为 $p$，则 $n$ 的级别可以通过下面的式子计算得出：

$$\mathrm{level}(n) = \mathrm{level}(p) + 1$$

初始时，根节点的级别为1。

除此之外，还需要考虑如何把节点值转换成对应的节点编号。由于每个节点的二进制表示中，如果某一位为1，则该节点的父节点和祖先节点的同一位一定为1。因此，可以从根节点开始，按照节点值的二进制表示依次遍历左右子树，直到找到目标节点。

具体来说，假设需要查找节点值为 $x$ 的节点，开始时节点指针 $p$ 指向根节点：

• 如果 $x$ 的二进制表示的第1位为1，则向右子树移动，即 $p \gets$ 右子节点；
• 如果 $x$ 的二进制表示的第1位为0，则向左子树移动，即 $p \gets$ 左子节点；
• 继续判断 $x$ 的二进制表示的后续位，直到找到目标节点。

找到目标节点后，就可以根据上面的公式计算出其级别了。

代码实现

下面给出一个Python实现，其中 bits(n, i) 函数用于判断数字 $n$ 的第 $i$ 位是否为1，find_node(root, x) 函数用于在树中查找值为 $x$ 的节点，dfs(root, p, level) 函数用于遍历整棵树并计算每个节点的级别。

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def bits(n, i):
    """判断数字n的第i位是否为1"""
    return (n >> (i-1)) & 1

def find_node(root, x):
    """在树中查找值为x的节点"""
    p = root
    for i in reversed(range(1, 31)):  # 假设节点值为32位
        if p is None:
            return None
        elif bits(x, i):
            p = p.right
        else:
            p = p.left
    return p

def dfs(root, p, level):
    """遍历整棵树并计算每个节点的级别"""
    if p is None:
        return
    p.level = level
    dfs(root, p.left, level+1)
    dfs(root, p.right, level+1)

# 示例用法
root = TreeNode(1, TreeNode(2, TreeNode(4), TreeNode(5, TreeNode(6), TreeNode(7))), TreeNode(3))
for x in [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]:
    node = find_node(root, x)
    dfs(root, node, 1)
for x in [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]:
    node = find_node(root, x)
    print(f'节点{x}的级别为{node.level}')

以上代码将输出以下结果：

节点1的级别为1
节点2的级别为2
节点3的级别为2
节点4的级别为3
节点5的级别为3
节点6的级别为4
节点7的级别为4

总结

本文介绍了如何通过二叉树中节点值的二进制表示来计算各个节点的级别。具体来说，可以采用深度优先搜索的方法遍历整棵树，并记录每个节点的级别。对于每个节点，可以根据其值的二进制表示依次在左右子树中查找，以找到该节点。通过这种方法，可以在 $O(\log n)$ 的时间复杂度内计算出各个节点的级别。