📜  如何证明圆的周长是2pir?(1)

📅  最后修改于: 2023-12-03 15:24:55.431000             🧑  作者: Mango

如何证明圆的周长是2πr?

圆的周长公式是 C = 2πr,其中 r 是圆的半径,π 是一个常数,约为 3.14。但是,如何证明这个公式是正确的呢?

下面是一个简单的证明过程:

步骤一:划分圆的周长

首先,将圆的周长分成 n 个等分(可以任意选取 n),如下图所示:

circle1

其中,每个等分的长度为 s,整个圆的周长为 C。

步骤二:构建正多边形

然后,将这些等分连成一起,得到一个正 n 边形,如下图所示:

circle2

可以发现,这个正 n 边形的周长为 ns。

步骤三:确定圆心和半径

接下来,以正 n 边形的一个顶点为圆心,连接原点和相邻两个顶点,如下图所示:

circle3

可以发现,这个图形是一个圆,半径为 r。

步骤四:计算圆的周长

现在,我们来计算圆的周长。由于圆的周长是连续不断的,但是我们只能测量出来一个个等分的长度,所以需要通过加和的方式来计算出圆的周长。

容易发现,一个正 n 边形中,每个等分的长度为 s,所以整个正 n 边形的周长为 ns。而圆弧和正多边形的边相切,所以圆弧的长度为正 n 边形边长 s 的 1/2 倍(为什么?可以自己思考一下)。因此,整个圆的周长为:

C = n * s + 2r * π / 2 = ns + r * π

其中,ns 是正 n 边形的周长,r * π 是圆弧的长度。

步骤五:取极限

当 n 趋近于正无穷大时,正 n 边形就会趋近于一个圆,即:

当 n → ∞ 时,ns → C,r * π → C。

所以,C = ns + r * π = C + r * π,可以解得 C = 2r * π。

这就是如何证明圆的周长是 2πr 的过程。

代码片段
// 划分圆的周长
let n = 10; // 任意选取 n
let s = C / n; // 每个等分的长度为圆的周长除以 n

// 构建正 n 边形
let ns = n * s; // 正 n 边形的周长为 ns

// 确定圆心和半径
let r = C / (2 * Math.PI);
let angle = 2 * Math.PI / n;
let centerX = r;
let centerY = 0;

// 计算圆的周长
let arcLength = 2 * r * Math.sin(angle / 2);
let arc = n * arcLength / 2; // 圆弧的长度为正 n 边形边长 s 的 1/2 倍

let circleLength = ns + arc; // 整个圆的周长为 ns + r * π

// 取极限
n = Infinity;
s = C / n;
ns = n * s;
arc = C - ns;
circleLength = ns + arc; // 整个圆的周长为 2 * r * π