计算相邻两个设置位附近的k次二进制字符串

在本文中，我们将介绍如何编写一个程序，计算出现在相邻两个设置位附近的k次二进制字符串。

在程序设计中，二进制数通常用0和1表示。相邻的设置位指两个1之间的0的数量为k。例如，在二进制数11010011中，有两个相邻的设置位，它们之间有一个0。如果我们要计算n位二进制数中相邻两个设置位附近的k次二进制字符串的数量，我们可以使用动态规划来解决。

动态规划

动态规划是一种通过将原问题分解为子问题的方式来解决复杂问题的方法。在使用动态规划时，我们通常会定义一个表或数组来存储计算的结果。一般情况下，动态规划的时间复杂度为O(n^2)。

在本问题中，我们可以分别用$pre0$和$pre1$来表示相邻两个设置位之间的0或1的数量，$f[i][0]$和$f[i][1]$表示在前i位中，最后一位是0或1的相邻两个设置位的数量为k的二进制字符串的数量。

状态转移方程如下：

$$f[i][0] = f[i-1][0] + f[i-1][1]$$

$$f[i][1] = f[i-1][0] + (k-1)*f[i-1][1]$$

其中，$f[i][0]$表示在前i位中，最后一位是0的相邻两个设置位的数量为k的二进制字符串的数量，$f[i][1]$表示在前i位中，最后一位是1的相邻两个设置位的数量为k的二进制字符串的数量。

具体实现见下面的代码片段。

def countStrings(n: int, k: int) -> int:
    f = [[0] * 2 for i in range(n+1)]
    f[2][0] = f[2][1] = 1

    for i in range(3, n+1):
        f[i][0] = f[i-1][0] + f[i-1][1]
        f[i][1] = f[i-1][0] + (k-1)*f[i-1][1]

    return f[n][0] + f[n][1]

以上是一个基础的动态规划解法，若要进一步提高效率，可以考虑使用矩阵快速幂优化解法，时间复杂度可降至O(log n)。

总结

本文介绍了计算相邻两个设置位附近的k次二进制字符串的问题，并提供了一个基于动态规划的解法。由于动态规划的时间复杂度较高，我们还可使用矩阵快速幂等高效算法进行优化。