表示 2.927927927… 作为有理数

在数学中，一个有理数可以被表示为 $a/b$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 都是整数，$b\neq0$。现在考虑如何将 $2.927927927…$ 表示为一个有理数。

方法一：分数形式

将 $2.927927927…$ 表示成分数形式，即

$$ 2.9\overline{27} = \frac{2927}{1000} + \frac{27}{1000}\times\frac{1}{9} + \frac{27}{1000}\times\frac{1}{9^2} + \frac{27}{1000}\times\frac{1}{9^3} + \cdots $$

根据等比数列的求和公式，可以得到

$$ 2.9\overline{27} = \frac{2927}{1000} + \frac{27}{1000}\times\frac{1}{1-\frac{1}{9}} = \frac{2927}{1000} + \frac{3}{100} = \frac{3607}{1250} $$

因此，$2.927927927…$ 可以表示为 $\frac{3607}{1250}$，是一个有理数。

方法二：连分数形式

另一种表示方法是使用连分数形式。连分数是一种无限展开的分数形式，可以表示为

$$ a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ddots}}} $$

其中，$a_0$ 是连分数的整数部分，$a_1, a_2, a_3, \cdots$ 是连分数的循环小数部分。将 $2.927927927…$ 表示成连分数，可以得到

$$ 2.9\overline{27} = 2 + \cfrac{1}{\frac{1}{9}+\cfrac{1}{37}} $$

根据连分数的求值定理，可以得到

$$ 2.9\overline{27} = 2 + \cfrac{1}{\frac{1}{9}+\cfrac{1}{37}} = 2+\cfrac{1}{\frac{46}{333}} = \frac{711}{243} $$

因此，$2.927927927…$ 可以表示为 $\frac{711}{243}$，也是一个有理数。

总结

$2.927927927…$ 是一个循环小数，可以通过分数形式或连分数形式表示为一个有理数。其中，分数形式依赖于等比数列的求和公式，连分数形式依赖于连分数的求值定理。