算法分析 - 问题11

题目描述

给定一个长度为 n 的无序数组，找到其中第 k 大的元素。注意，第 k 大的元素并不是指第 k 个不同的元素，而是指排名为第 k 的元素，即其中比它大的元素有 k-1 个，比它小的元素有 n-k 个。

解法

解法一 - 暴力法

一个直观的思路就是对数组进行排序，然后返回第 k 大的元素。排序的时间复杂度大致为 $O(n\ log\ n)$，可以使用快速排序、归并排序、堆排序等。在排序的基础上，返回第 k 大的元素的时间复杂度为 $O(1)$。因此，该解法的时间复杂度为 $O(n\ log\ n)$。

def find_kth_largest(nums, k):
    nums.sort(reverse=True)
    return nums[k-1]

解法二 - 快速选择法

快速选择法（Quick Select）是一种基于快速排序思想的算法。与排序不同的是，快速选择只需要找到第 k 大的元素，而不需要对整个数组进行排序。快速选择的平均时间复杂度为 $O(n)$，最坏时间复杂度为 $O(n^2)$。但是该算法的期望时间复杂度和平均时间复杂度都为 $O(n)$。

import random

def partition(nums, left, right):
    pivot = random.randint(left, right)
    nums[pivot], nums[right] = nums[right], nums[pivot]
    i = left - 1
    for j in range(left, right):
        if nums[j] >= nums[right]:
            i += 1
            nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
    nums[i+1], nums[right] = nums[right], nums[i+1]
    return i+1

def quick_select(nums, left, right, k):
    if left == right:
        return nums[left]
    pivot_index = partition(nums, left, right)
    if k == pivot_index:
        return nums[pivot_index]
    elif k < pivot_index:
        return quick_select(nums, left, pivot_index-1, k)
    else:
        return quick_select(nums, pivot_index+1, right, k)

def find_kth_largest(nums, k):
    return quick_select(nums, 0, len(nums)-1, len(nums)-k)

解法三 - 堆排序法

堆排序法（Heap Sort）是一种基于堆的排序算法，在此基础上，我们可以使用一个大小为 k 的小根堆（或大根堆）存储数组中最大的 k 个元素。最终堆中的堆顶元素就是第 k 大的元素。该算法的时间复杂度为 $O(n\ log\ k)$。

import heapq

def find_kth_largest(nums, k):
    heap = nums[:k]
    heapq.heapify(heap)
    for i in nums[k:]:
        if i > heap[0]:
            heapq.heapreplace(heap, i)
    return heap[0]

总结

本题主要考察了寻找数组中第 k 大元素的算法。常见的解法有暴力法、快速选择法和堆排序法。其中，暴力法虽然直观，但时间复杂度较高；快速选择和堆排序都可以在 $O(n)$ 或 $O(n\ log\ k)$ 的时间复杂度内解决问题。在实践中可以根据具体情况来选择不同的解法。